5 svar
135 visningar
naytte 4646 – Moderator
Postad: 22 sep 02:06

Fin (enkel/medelklurig) tredjegradare

Halloj!

Stötte på en ganska trevlig tredjegradare nu för en stund sedan när jag gjorde lite efterforskningar och jag ville dela med mig av den. "Utmaningen" är att bestämma alla reella lösningar till följande ekvation:

x3-3x2-3x-1=0\displaystyle x^3-3x^2-3x-1=0

Skriv era svar i en spoilertagg! :D

Gustor 199
Postad: 22 sep 10:05
Visa spoiler

Eventuella rationella rötter måste vara ±1 (enligt Rational root theorem) men dessa är ej lösningar. Finns det något bättre sätt då än att bara använda Cardano's formula?

naytte 4646 – Moderator
Postad: 22 sep 13:24 Redigerad: 22 sep 13:24

Jag tänker att man kan göra så här:

Lösningsförslag

Vi ser att VL nästan ser ut som en kub, men problemet är att koefficienterna har fel tecken. Så om vi för över alla negativa termer till HL och "kubkompletterar" får vi:

2x3=x3+3x2+3x+1=(x+1)3x23=x+1\displaystyle 2x^3 = x^3+3x^2+3x+1 = (x+1)^3 \iff x\sqrt[3]{2}=x+1

Resten är inte så klurig! :D

Visa spoiler

Det här var länge sedan jag pysslade med, så trevlig och nyttig övning. Jag hittade en allmän formel som visade sig felaktig. Efter att ha stångat huvudet i väggen ett antal gånger letade jag upp en annan. Då gick det mycket lättare!

x3+ax2+bx+c=0x3-3x2-3x-1=0a=-3;b=-3;c=-1p=b-a23=-3-93=-6q=9ab-2a327-c=81+5427+1=13527+1=6x=z-a3z=q2+q22+p3313+q2-q22+p3313==3+9-813+3-9-813=43+23x=43+23+1

Det var en reell rot. Puh!

Finns det tre? Diskriminanten är =-108, så nix.

Nu har jag lärt mig något, som jag eventuellt kunnat för 30+ år sedan. Tack!

sictransit skrev:
Visa spoiler

Det här var länge sedan jag pysslade med, så trevlig och nyttig övning. Jag hittade en allmän formel som visade sig felaktig. Efter att ha stångat huvudet i väggen ett antal gånger letade jag upp en annan. Då gick det mycket lättare!

x3+ax2+bx+c=0x3-3x2-3x-1=0a=-3;b=-3;c=-1p=b-a23=-3-93=-6q=9ab-2a327-c=81+5427+1=13527+1=6x=z-a3z=q2+q22+p3313+q2-q22+p3313==3+9-813+3-9-813=43+23x=43+23+1

Det var en reell rot. Puh!

Finns det tre? Diskriminanten är =-108, så nix.

Nu har jag lärt mig något, som jag eventuellt kunnat för 30+ år sedan. Tack!

Visa spoiler

Inser jag skulle ha svarat x=43+23+13 av symmetriskäl. Så vackert!

Laguna 29902
Postad: 23 sep 08:24
naytte skrev:

Jag tänker att man kan göra så här:

Lösningsförslag

Vi ser att VL nästan ser ut som en kub, men problemet är att koefficienterna har fel tecken. Så om vi för över alla negativa termer till HL och "kubkompletterar" får vi:

2x3=x3+3x2+3x+1=(x+1)3x23=x+1\displaystyle 2x^3 = x^3+3x^2+3x+1 = (x+1)^3 \iff x\sqrt[3]{2}=x+1

Resten är inte så klurig! :D

Snyggt!

Svara
Close