17 svar
118 visningar
mrlill_ludde är nöjd med hjälpen!
mrlill_ludde 682
Postad: 7 apr 2019

Find a solution to the equation \text{tan}(z) = 5 i which satisfies the condition 0 < Re(z) < \pi.

Find a solution to the equationtan(z)=5i tan(z)=5i which satisfies the condition 0<=Re(z)<=π0 <= Re(z) <= \pi.

Re = reala delen i axeln, x- axeln liksom..
0 <= alalla <= pi, betyde r att vi befinner oss i första och andra kvadraten 
tan = sin/cos

5i betyder att vi är på siffran 5 hos 'y" liksom..

jag tänkte om man kunde typ använda arctan på bägge led, men det blir ju fel.

AlvinB 2757
Postad: 7 apr 2019

Med hjälp av Eulers formler för sinus och cosinus kan tan(z)\tan(z) skrivas:

tanz=eiz-e-izi(eiz+e-iz)\tan\left(z\right)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}

Din ekvation är alltså samma sak som:

eiz-e-izi(eiz+e-iz)=5i\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=5i

Kan du lösa detta?

mrlill_ludde 682
Postad: 7 apr 2019
AlvinB skrev:

Med hjälp av Eulers formler för sinus och cosinus kan tan(z)\tan(z) skrivas:

tanz=eiz-e-izi(eiz+e-iz)\tan\left(z\right)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}

Din ekvation är alltså samma sak som:

eiz-e-izi(eiz+e-iz)=5i\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=5i

Kan du lösa detta?

Använda log och så?
men nääe,, jag ve tinte :S ååå får sån ångest över ee, log osv. Och n u med också komplexa tal :S

AlvinB 2757
Postad: 7 apr 2019

Det mesta är klurigt till en början, men övning ger färdighet!

Jag tycker vi börjar med att multiplicera båda led med ii:

i·eiz-e-izi(eiz+e-iz)=5i·i\cancel{i}\cdot\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{\cancel{i}(e^{iz}+e^{-iz})}=5i\cdot i

eiz-e-izeiz+e-iz=-5\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}=-5

Sedan multiplicerar vi med nämnaren:

eiz-e-iz=-5(eiz+e-iz)e^{iz}-e^{-iz}=-5(e^{iz}+e^{-iz})

Se nu vad du får om du förenklar.

mrlill_ludde 682
Postad: 8 apr 2019
AlvinB skrev:

Det mesta är klurigt till en början, men övning ger färdighet!

Jag tycker vi börjar med att multiplicera båda led med ii:

i·eiz-e-izi(eiz+e-iz)=5i·i\cancel{i}\cdot\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{\cancel{i}(e^{iz}+e^{-iz})}=5i\cdot i

eiz-e-izeiz+e-iz=-5\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}=-5

Sedan multiplicerar vi med nämnaren:

eiz-e-iz=-5(eiz+e-iz)e^{iz}-e^{-iz}=-5(e^{iz}+e^{-iz})

Se nu vad du får om du förenklar.

eiz-e-iz=-5(eiz+e-iz)e^{iz}-e{-iz}=-5(e^{iz}+e^{-iz})

och typ Log:a på bädde sidor 

iz-iz = -5(iz-iz)

ehm... näe.. 

Eftersom Log(e(10)=10Log(e(^{10}) = 10 så varför blir det konstigt.

AlvinB 2757
Postad: 8 apr 2019

Nej, nu har du lite bråttom. Det går inte att använda logaritmer för att trolla bort potenserna på det sättet du gör. Du kanske behöver kika lite grann på logaritmlagarna från Matte 2 på gymnasiet.

Vad jag menade var att du skulle förenkla enligt följande:

eiz-e-iz=-5(eiz+e-iz)e^{iz}-e^{-iz}=-5(e^{iz}+e^{-iz})

eiz-e-iz=-5eiz-5e-ize^{iz}-e^{-iz}=-5e^{iz}-5e^{-iz}

6eiz+4e-iz=06e^{iz}+4e^{-iz}=0

Nu kommer ett steg som kan vara lite svårt att komma på själv, men kolla vad som händer om vi multiplicerar båda led med eize^{iz}:

eiz(6eiz+4e-iz)=eiz·0e^{iz}(6e^{iz}+4e^{-iz})=e^{iz}\cdot0

6eiz·eiz+4e-iz·eiz=06e^{iz}\cdot e^{iz}+4e^{-iz}\cdot e^{iz}=0

6e2iz+4=06e^{2iz}+4=0

Kan du nu lösa ut för zz?

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019
AlvinB skrev:

Nej, nu har du lite bråttom. Det går inte att använda logaritmer för att trolla bort potenserna på det sättet du gör. Du kanske behöver kika lite grann på logaritmlagarna från Matte 2 på gymnasiet.

Vad jag menade var att du skulle förenkla enligt följande:

eiz-e-iz=-5(eiz+e-iz)e^{iz}-e^{-iz}=-5(e^{iz}+e^{-iz})

eiz-e-iz=-5eiz-5e-ize^{iz}-e^{-iz}=-5e^{iz}-5e^{-iz}

6eiz+4e-iz=06e^{iz}+4e^{-iz}=0

Nu kommer ett steg som kan vara lite svårt att komma på själv, men kolla vad som händer om vi multiplicerar båda led med eize^{iz}:

eiz(6eiz+4e-iz)=eiz·0e^{iz}(6e^{iz}+4e^{-iz})=e^{iz}\cdot0

6eiz·eiz+4e-iz·eiz=06e^{iz}\cdot e^{iz}+4e^{-iz}\cdot e^{iz}=0

6e2iz+4=06e^{2iz}+4=0

Kan du nu lösa ut för zz?

det lär väl bli ngt med: 

e2iz=2/3e^{2iz} = 2/3

använder log i båda led: 

2iz=log(2)-log(3)2iz = log(2)-log(3)
iz=1/2(log(2)-log(3))iz = 1/2(log(2)-log(3))

men vet inte hur det blir med ii där.. 

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019

Nja, det blir:

e2iz=-23e^{2iz}=-\dfrac{2}{3}

Om du nu tar naturliga logaritmen av båda led får du:

loge2iz=log(-23)\log\left(e^{2iz}\right)=\log(-\dfrac{2}{3})

2iz=log(-23)2iz=\log(-\dfrac{2}{3})

Har du beräknat logaritmen av ett negativt tal förut?

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019
AlvinB skrev:

Nja, det blir:

e2iz=-23e^{2iz}=-\dfrac{2}{3}

Om du nu tar naturliga logaritmen av båda led får du:

loge2iz=log(-23)\log\left(e^{2iz}\right)=\log(-\dfrac{2}{3})

2iz=log(-23)2iz=\log(-\dfrac{2}{3})

Har du beräknat logaritmen av ett negativt tal förut?

nää, det går ju inte.. inte i den reala mattevärlden. Men iofs, då ska ma ju använda

log(−1)=(2𝑛+1)𝜋𝑖,𝑛=0,±1,... som jag hittade i min bok. 

Så mitt blir då 

log(-2/3)  = (2𝑛+2/3)𝜋𝑖,𝑛=0,±1,. right? så..

 

2iz = (2𝑛+2/3)𝜋𝑖,𝑛=0,±1. dela med två

iz = 1/2((2𝑛+2/3))𝜋𝑖,𝑛=0,±1 multiplicera med i. i^2 = -1

-z = i(1/2((2𝑛+2/3))𝜋𝑖,𝑛=0,±1) multiplicera med -1

z = -i(1/2((2𝑛+2/3))) 𝜋𝑖,𝑛=0,±1

och eftersom villkoret är 0 till första kvadraten, så ska jag bara kolla de 𝑛 värden som är inom det intervallet?

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019

Du är på rätt spår.

Det stämmer att:

log(-1)=(2n+1)πi\log(-1)=(2n+1)\pi i

eftersom eiπ=-1e^{i\pi}=-1 (och när man lägger på heltalsmultipler av 2π2\pi till argumentet ändras ju inte värdet). Dock blir det lite fel när du skall ta fram log(-2/3)\log(-2/3). Du skall använda dig av logaritmlagen som säger att log(a·b)=log(a)+log(b)\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b). Vi får alltså:

log(-23)=log(23)+log-1=log(23)+2n+1πi\log(-\dfrac{2}{3})=\log(\dfrac{2}{3})+\log\left(-1\right)=\log(\dfrac{2}{3})+\left(2n+1\right)\pi i

Vad får du då för zz-värde?

nn kan du bestämma genom att du vet att realdelen av zz skall ligga mellan 00 och π\pi.

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019

AlvinB skrev:

Du är på rätt spår.

Det stämmer att:

log(-1)=(2n+1)πi\log(-1)=(2n+1)\pi i

eftersom eiπ=-1e^{i\pi}=-1 (och när man lägger på heltalsmultipler av 2π2\pi till argumentet ändras ju inte värdet). Dock blir det lite fel när du skall ta fram log(-2/3)\log(-2/3). Du skall använda dig av logaritmlagen som säger att log(a·b)=log(a)+log(b)\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b). Vi får alltså:

log(-23)=log(23)+log-1=log(23)+2n+1πi\log(-\dfrac{2}{3})=\log(\dfrac{2}{3})+\log\left(-1\right)=\log(\dfrac{2}{3})+\left(2n+1\right)\pi i

Vad får du då för zz-värde?

nn kan du bestämma genom att du vet att realdelen av zz skall ligga mellan 00 och π\pi.

z=0.5(log(2)-log(3))+(2n+1)πiz = 0.5 (log(2)-log(3))+(2n+1)\pi i

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019

Det är tyvärr fel. Visa hur du kommer fram till det svaret, så kan vi hitta var det blir fel.

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019
AlvinB skrev:

Det är tyvärr fel. Visa hur du kommer fram till det svaret, så kan vi hitta var det blir fel.

jag måste dividera båda led med 2.

 

sen: 

log lagarna:

log(2/3) = log(2)-log(3)

 

så summerar man allt detta i ett , så fick jag min ekvation 

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019

Jo, men vad händer med ii:et i vänsterled?

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019
AlvinB skrev:

Jo, men vad händer med ii:et i vänsterled?

mja men då tar jag det svaret jag hade, och multiplicerar i på båda sidor, och har i minne att i2=-1i^2 = -1 

så:

z=-0.5(log(2)-log(3)+2n+1)(πi))z = -0.5(log(2)-log(3)+2n+1)(\pi i))

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019

Fortfarande lite knas. Om jag börjar kanske vi hamnar på rätt spår:

2iz=log(-2/3)2iz=\log(-2/3)

2iz=log(2/3)+(2n+1)πi2iz=\log(2/3)+(2n+1)\pi i

i·2iz=i(log(2/3)+(2n+1)πi)i\cdot2iz=i(\log(2/3)+(2n+1)\pi i)

-2z=ilog(2/3)+(2n+1)πi·i-2z=i\log(2/3)+(2n+1)\pi i\cdot i

-2z=ilog(2/3)-(2n+1)π-2z=i\log(2/3)-(2n+1)\pi

......

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019
AlvinB skrev:

Fortfarande lite knas. Om jag börjar kanske vi hamnar på rätt spår:

2iz=log(-2/3)2iz=\log(-2/3)

2iz=log(2/3)+(2n+1)πi2iz=\log(2/3)+(2n+1)\pi i

i·2iz=i(log(2/3)+(2n+1)πi)i\cdot2iz=i(\log(2/3)+(2n+1)\pi i)

-2z=ilog(2/3)+(2n+1)πi·i-2z=i\log(2/3)+(2n+1)\pi i\cdot i

-2z=ilog(2/3)-(2n+1)π-2z=i\log(2/3)-(2n+1)\pi

......

z=-0.5(ilog(2/3)-(2n+1)π)z=-0.5(i\log(2/3)-(2n+1)\pi)

och så kolla n värderna?

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019

Just det.

Svara Avbryt
Close