14 svar
173 visningar
Natascha 722
Postad: 20 jul 2019

Find the standard equation of the circle thorugh...

Hej! Jag har en uppgift som lyder: Find the standard equation of the circle through: 

P1(-2.1) , P2(1,4) ,  P3(-3,2) 

Jag ska alltså ta fram en ekvation för cirkeln med hjälp av de givna punkterna. Jag vet inte riktigt hur jag ska påbörja... Ska jag använda mig utav: (x-x0)2 + (y-y0)2 = r2 och ersätta x0 och y0 med mina kända punkter? Jag är lite osäker. 

Laguna Online 5394
Postad: 20 jul 2019

Nästan, men x0 och y0 är cirkelns medelpunkt, som du ska ta reda på. Du har tre punkter på cirkeln, dvs. x och y tre gånger. Sätt in dem så får du tre ekvationer. 

Natascha 722
Postad: 20 jul 2019

Då får jag: (x+2)2  + (y-1)2 = r2 (x-1)2 + (y-4)2 =r2(x+3)2 + (y-2)2 = r2  Jag försökte sätta de tre ekvationerna lika med varandra men det blev ingen bra. Hur går jag vidare? 

Du har ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta. Du kan använda t ex substitutionsmetoden eller additionsmetoden för att lösa det.

Natascha 722
Postad: 20 jul 2019

Ja det är ett alternativ faktiskt. Men om jag nämner översta ekvationen som 1 och i mitten 2 och nedersta 3. Ifall jag tar ekvation1 och ekvation2 som lika varandra då båda är lika med r^2. Ska jag utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregler först eller det behövs ej? 

Jag kan inte föreställa mig hur man skulle kunna lösa uppgiften utan att utveckla kvadraterna.

Färresten, har du ritat upp de tre punkterna i ett koordinatsystem? Det borde kunna ge ett hum om rimliga värden för r, x0 och y0, så att du vet om de siffror du räknar fram verkar vettiga.

Natascha 722
Postad: 20 jul 2019

Nä, jag tänkte på det precis i början men jag tänkte att jag kunde lösa den rakt av algebraiskt men det var lite svårt. Jag har i alla fall tagit ekvation 1 och 2 och satt dem lika då båda är lika med r^2. Det ser ut såhär: x2 + 4x + 4  + y2 - 2y + 1 = x2 - 2x +1 + y2 - 8y + 16  som jag då försöker förenkla i och med att det finns flera termer som tar ut varandra: 4x + 4 - 2y + 1 = -2x + 1 - 8y + 16 som i sin tur leder vidare till ekvationen: 6x + 6y = 12  6x + 6y = 122  x + y = 2 Är jag på väg mot ljusare tider eller gräver jag bara ner mig djupare? Min magkänsla säger att det är korrekt. 

Smaragdalena 27045 – Moderator
Postad: 20 jul 2019 Redigerad: 20 jul 2019

Det ser ut som om det skulle kunna vara riktigt - jag har inte räknat igenom uppgiften.

Som nästa steg skulle jag sätta att VL i ekv 3 = VL i en av de båda andra ekvationerna, och sätta in att y = 2-x. På det sättet får jag fram x, och sedan kan jag få fram y och därefter r.

Laguna Online 5394
Postad: 21 jul 2019

En annan metod är att, om de tre punkterna kallas A, B och C, ta normalen till AB mitt emellan A och B och se var den skär motsvarande normal till BC. Där är cirkelns mittpunkt.

Prova grafiskt (som Smaragdalena föreslår), och sedan algebraiskt.

ConnyN 870
Postad: 21 jul 2019 Redigerad: 21 jul 2019

Något litet fel har du. Det ska bli y0=x0+4 

Du har ersatt x0 och y0 med kända punkter, men det är dom du ska räkna ut.

Eftersom du gjort helt tvärtom kanske det ändå ska bli rätt, men då har du något litet räknefel någonstans på vägen.

Edit: Du får faktiskt rätt om du fortsätter därifrån, men som sagt tänk på att det är x0 och y0 du ska räkna ut.

Albiki 4130
Postad: 21 jul 2019

Hej!

Cirkeln har medelpunkt (a,b)(a,b) och radie rr så att punkterna P1P_1 och P2P_2 ger ekvationen

    (-2-a)2+(1-b)2=(1-a)2+(4-b)2a-b=2(-2-a)^2+(1-b)^2 = (1-a)^2+(4-b)^2 \iff a-b=2

och punkterna P2P_2 och P3P_3 ger ekvationen

    (1-a)2+(4-b)2=(-3-a)2+(2-b)22=4a+2b(1-a)^2+(4-b)^2=(-3-a)^2+(2-b)^2 \iff 2=4a+2b

vilka tillsammans ger cirkelns medelpunkt (a,b)=(1,-1)(a,b)=(1,-1) och tillsammans med punkten P2P_2 beräknar man radien till (1-1)2+(4-(-1)2=r2r=5.(1-1)^2+(4-(-1)^2 = r^2 \iff r=5.

Laguna Online 5394
Postad: 22 jul 2019
Albiki skrev:

Hej!

Cirkeln har medelpunkt (a,b)(a,b) och radie rr så att punkterna P1P_1 och P2P_2 ger ekvationen

    (-2-a)2+(1-b)2=(1-a)2+(4-b)2a-b=2(-2-a)^2+(1-b)^2 = (1-a)^2+(4-b)^2 \iff a-b=2

och punkterna P2P_2 och P3P_3 ger ekvationen

    (1-a)2+(4-b)2=(-3-a)2+(2-b)22=4a+2b(1-a)^2+(4-b)^2=(-3-a)^2+(2-b)^2 \iff 2=4a+2b

vilka tillsammans ger cirkelns medelpunkt (a,b)=(1,-1)(a,b)=(1,-1) och tillsammans med punkten P2P_2 beräknar man radien till (1-1)2+(4-(-1)2=r2r=5.(1-1)^2+(4-(-1)^2 = r^2 \iff r=5.

Om du sätter in (a,b)=(1,-1)(a,b)=(1,-1), så stämmer inte (-2-a)2+(1-b)2=(1-a)2+(4-b)2(-2-a)^2+(1-b)^2 = (1-a)^2+(4-b)^2.

ConnyN 870
Postad: 22 jul 2019
Albiki skrev:

Hej!

Cirkeln har medelpunkt (a,b)(a,b) och radie rr så att punkterna P1P_1 och P2P_2 ger ekvationen

    (-2-a)2+(1-b)2=(1-a)2+(4-b)2a-b=2(-2-a)^2+(1-b)^2 = (1-a)^2+(4-b)^2 \iff a-b=2

och punkterna P2P_2 och P3P_3 ger ekvationen

    (1-a)2+(4-b)2=(-3-a)2+(2-b)22=4a+2b(1-a)^2+(4-b)^2=(-3-a)^2+(2-b)^2 \iff 2=4a+2b

vilka tillsammans ger cirkelns medelpunkt (a,b)=(1,-1)(a,b)=(1,-1) och tillsammans med punkten P2P_2 beräknar man radien till (1-1)2+(4-(-1)2=r2r=5.(1-1)^2+(4-(-1)^2 = r^2 \iff r=5.

Bra tänk, men några fel. Inte underligt med dessa ekvationer i och för sig. De kräver en minutiös noggrannhet.

P1 och P2  ger a+b=2

P2 och P3 ger 1=2a+b

Det ger a=-1 och b=3

Vilket ger r2=5

Ett bra tips i den här uppgiften är att rita först.

Natascha 722
Postad: 26 jul 2019
Smaragdalena skrev:

Det ser ut som om det skulle kunna vara riktigt - jag har inte räknat igenom uppgiften.

Som nästa steg skulle jag sätta att VL i ekv 3 = VL i en av de båda andra ekvationerna, och sätta in att y = 2-x. På det sättet får jag fram x, och sedan kan jag få fram y och därefter r.

Alltså jag har försökt flera dar med den metod som vi påbörjat Smaragdalena. Jag ersätter y=2-x där jag har y i ekvationen men det ger mig inga korrekt slutvärden för x, y och slutligen r. Detta är en tragisk syn... 🤦‍♀️

Du har redan använt ekvation 1 och 2 för att få fram att y=2-x. Använd inte dem mer (just nu), de är förbrukade. Använd istället t ex att ekv 1 = ekv 3 och sätt in att y=2-x. Förenkla "y-parenteserna" innan du utvecklar dem. Detta ger dig ett värde på x.

Om du börjar med att pricka in de tre punkterna i ett koordinatsysten, så hittar du mittpunkten förvånansvärt enkelt och exakt.

Svara Avbryt
Close