finn en vinkelrät vektor till en annan vektor

Hej,

Om jag tänker inte fel nu, $k$ bör vara $\dfrac{1}{\sqrt{40}}$, och alla vinkelrätta vektorer mot $a$ måste nog vara dem som har skalär produkt noll?

$\left(x_1+y_1\right)·\left(x_2+y_2\right)=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$?

Kanske.

Edit: editerade min latex! 

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vektorn a ligger på en linje som går genom origo och punkten (2,6), d v s y = 3x. Du lärde dig i Ma2 att för vinkelräta linjer käller att $k_1k_2=-1$, så alla vektorer som är vinkelräta mot a har $k=-\frac{1}{3}$. Några sådana vektorer är (6,-2) och (-12,4).

Du kan också tänka det som att du roterar vektorn 90 grader åt valfritt håll för att få den vinkelräta vektorn.

Smaragdalena skrev:

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vektorn a ligger på en linje som går genom origo och punkten (2,6), d v s y = 3x. Du lärde dig i Ma2 att för vinkelräta linjer käller att $k_1k_2=-1$, så alla vektorer som är vinkelräta mot a har $k=-\frac{1}{3}$. Några sådana vektorer är (6,-2) och (-12,4).

Du kan också tänka det som att du roterar vektorn 90 grader åt valfritt håll för att få den vinkelräta vektorn.

 Jag vill påstå att vi inte kan veta att vektorn a ligger just på linjen $y = 3x$. Den kan göra det, men den kan också ligga på vilken som helst av linjerna $y = 3x+m$ där $m$ är ett reellt tal.

Det stämmer gällande skalärprodukten, men notationen blir lite konstig. Skriv istället:

$(x_1,y_1)·(x_2,y_2)=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

tomast80 skrev:

Smaragdalena skrev:

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vektorn a ligger på en linje som går genom origo och punkten (2,6), d v s y = 3x. Du lärde dig i Ma2 att för vinkelräta linjer käller att $k_1k_2=-1$, så alla vektorer som är vinkelräta mot a har $k=-\frac{1}{3}$. Några sådana vektorer är (6,-2) och (-12,4).

Du kan också tänka det som att du roterar vektorn 90 grader åt valfritt håll för att få den vinkelräta vektorn.

 Jag vill påstå att vi inte kan veta att vektorn a ligger just på linjen $y = 3x$. Den kan göra det, men den kan också ligga på vilken som helst av linjerna $y = 3x+m$ där $m$ är ett reellt tal.

 Vi kan flytta origo så att den gör det ;-). Resonemanget fungerar i alla fall.

dajamanté skrev:

Hej,

 

Om jag tänker inte fel nu, $k$ bör vara $\dfrac{1}{\sqrt{40}}$, och alla vinkelrätta vektorer mot $a$ måste nog vara dem som har skalär produkt noll?

$\left(x_1+y_1\right)·\left(x_2+y_2\right)=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$?

Kanske.

Edit: editerade min latex! 

 a stämmer, den har jag klarat av men det blir svårt för mig att fortsätta på uppgft b så som du visade. vad gör man sen liksom :)?

Smaragdalena skrev:

tomast80 skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vektorn a ligger på en linje som går genom origo och punkten (2,6), d v s y = 3x. Du lärde dig i Ma2 att för vinkelräta linjer käller att $k_1k_2=-1$, så alla vektorer som är vinkelräta mot a har $k=-\frac{1}{3}$. Några sådana vektorer är (6,-2) och (-12,4).

Du kan också tänka det som att du roterar vektorn 90 grader åt valfritt håll för att få den vinkelräta vektorn.

 Jag vill påstå att vi inte kan veta att vektorn a ligger just på linjen $y = 3x$. Den kan göra det, men den kan också ligga på vilken som helst av linjerna $y = 3x+m$ där $m$ är ett reellt tal.

 Vi kan flytta origo så att den gör det ;-). Resonemanget fungerar i alla fall.

Okej jag gör på ditt sätt, då får jag att den vinkelräta grafen är y= -x/3  hur gör jag nu? o.o 

Sätt in några trevliga värden på x och beräkna tillhörande y-värden. Jag gav dig två exempel, men det finns bokstavligen oändligt många.

Ta inte min version om du löser det med skalärprodukten, ta Tomast80 :). Jag skrev med ''plus'' mellan koordinat och man får inte göra så.

Jag tolkade frågan som alla vektorer som uppfyller vilkoren att bli vinkel rätt mot $a$, och isf det borde väl vara alla vektorer som fyller detta ekvation?

Vad säger faciten?

Smaragdalena skrev:

Sätt in några trevliga värden på x och beräkna tillhörande y-värden. Jag gav dig två exempel, men det finns bokstavligen oändligt många.

 jaha.. ja okej jag är med. jag tar c(3, -1), samma svar som på facit. 

Tack.

Hej Korra!

Jag såg att du stängde tråden, så det är kanske för sent för att svara. Men jag behövde sova hela natten innan jag kom på nåt vettig funderade på den här grej ''finn alla vektorer''.

c) uppgift. Visst det är så att vektorerna måste beräknas från origo i linjär algebra? Isf finns det bara två vektorer som svarar på vilkorerna i uppgift c), den som pekar åt höger och den som pekar åt vänster.

Man kan ta fram dem med en ekvation, multiplikation med i eller rotation matris (om ni har hunnit där, kan jag skriva hur man gör)

Men med i iaf:

En rotation med 90 grader ger: 

$\left(\frac{1}{\sqrt{40}}\left(2,6i\right)\right) i=\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{40}}}\left(2i,6i^2\right)\right) =\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{40}}}\left(-6,2i\right)\right)$

Och en rotation med -90 grader blir:

$\left(\frac{1}{\sqrt{40}}\left(2,6i\right)\right) -i=\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{40}}}\left(-2i,-6i^2\right)\right) =\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{40}}}\left(6,-2i\right)\right)$

Här är länken!

dajamanté skrev:

Hej Korra!

Jag såg att du stängde tråden, så det är kanske för sent för att svara. Men jag behövde sova hela natten innan jag kom på nåt vettig funderade på den här grej ''finn alla vektorer''.

c) uppgift. Visst det är så att vektorerna måste beräknas från origo i linjär algebra? Isf finns det bara två vektorer som svarar på vilkorerna i uppgift c), den som pekar åt höger och den som pekar åt vänster.

Man kan ta fram dem med en ekvation, multiplikation med i eller rotation matris (om ni har hunnit där, kan jag skriva hur man gör)

 

Men med i iaf:

En rotation med 90 grader ger: 

$\left(\frac{1}{\sqrt{40}}\left(2,6i\right)\right) i=\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{40}}}\left(2i,6i^2\right)\right) =\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{40}}}\left(-6,2i\right)\right)$

 

Och en rotation med -90 grader blir:

$\left(\frac{1}{\sqrt{40}}\left(2,6i\right)\right) -i=\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{40}}}\left(-2i,-6i^2\right)\right) =\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{40}}}\left(6,-2i\right)\right)$

 

Här är länken!

 det ser komplicerat ut. 

tack

Hej!

Vektorn $v=(x,y)$ är vinkelrät mot vektorn $a=(2,3)$ precis då deras skalärprodukt är lika med talet noll.

    $\displaystyle v\cdot a =2x+3y=0$.

Alla vektorer $(x,y)$ som uppfyller denna ekvation är vinkelräta mot vektorn $a$.

Ekvationen beskriver en rät linje: $y=-\frac{2}{3}x$. Varje punkt som ligger på denna räta linje  motsvaras av en vektor som är vinkelrät mot vektorn $a$.

Korra skrev:

 det ser komplicerat ut. 

tack

 What! Neeej! Jag kanske låg till mycket blabla så att det lätt värre än det är!

Har du gjort multiplikation med $i$ när du gjorde komplexa tal? Men iaf en multiplikation med  $i$ motsvarar en rotation med $90^\circ$ av samma vektorn, och det är det vi är efter i den här uppgift.

Figuren har jag bara gjort i Geogebra för att det är snyggare.

Annars är det också ekvation metod:

Du vet med skalär produkt att när $\left(x_1{y}_1\right)·\left(x_2{y}_2\right)=0$ då är våra vektor vinkelrätta.

Det kan skrivas som: $\left(2,6\right)·\left(x_2, y_2\right)=2x_2+6y_2=0$

Och du vet också med Pythagoras sats (uppgift a)) att längden på den sökta vektorn måste vara lika med $a$ (Vi ska normalisera den efter beräkningen...)

Så du har en ekvation system med två ekvationer:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x + 6y = 0 \left(ekv. 1\right) \\ {x}^2+y^2= 2^2+6^{2 }=40 \left(ekv. 2\right)\\ \end{array}\right. \end{gathered}$$

Om du löser det får du lösningarna $x=\pm 6, y=\pm 2$. Och du vet från ekvation (1) att dem måste vara av motsats tecken, eller hur (annars blir det aldrig noll!). 

Antigen:

$2·\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{ }+ 6·\mathbf{2} =0$

eller

$2·\mathbf{6}\mathbf{ }+ 6·\mathbf{-}\mathbf{2} =0$

Du normaliserar med $k=\frac1{\sqrt{40}}$, och där har du koordinaterna på våra vektorer.

Den som pekar åt höger och ner: $\frac{1}{\sqrt{40}}\left(6,-2\right)$, och den som pekar åt vänster och up: $\frac{1}{\sqrt{40}}\left(-6, 2\right)$

Ett alternativt sätt att lösa det är med komplexa tal och sätta:

$z=2+6i$

En vridning med 90 grader moturs motsvaras av multiplikation med $i$ och 90 grader medurs med multiplikation med $-i$.

Slutligen måste man normera så att längden blir $1$. Blir enkla och smidiga beräkningar.

$u_1 = \frac{1}{|z|} \cdot z\cdot i$

$u_2=\frac{1}{\left|z\right|}·z·(-i)$

Såg nu att min föreslagna lösning redan tagits upp tidigare i tråden. Ursäkta, hade missat det.

Jag tar på mig dumstruten! ☝️