Finn lokala maximivärden och minimivärden samt största och minsta värde för funktionen.

Om det finns några max/min så finns det i följande:

• Ändpunkter
• Singulära punkter (där derivatan ej är def.)
• Kritiska punkter (där derivatan är 0)

Eftersom detta är ett öppet intervall så kan inte ändpunkter kontrolleras.

Nej, här handlar det inte om att derivera,     fundera på vad tex I -1 I är 

Abs(-1) är väl lika med 1, för att abs(-x) = x. 

Ja har plottat fkn i desmos, vet ej om det hjälpa till? 

Kan du hitta någon punkt där derivatan är 0, eller ej def?

du vet att funktionen inte kan bli mindre än 0, kan du hitta ett värde på x som göra att funktionens värde är 0 ? 

när x = -1.25 blir derivatan (lutning) = 0. 

abs(4x+5) = 0 när x = -1.25

för att få fram maximumvärdet ska du bara försöka fixa ett så lågt eller så högt värde ax 4x + 5 du kan. (då X är större än 5 men mindre än 1) 

Skriv {-5<x<1} y = |4x+5| så får du såhär på desmos

I punkten $(-\frac{5}{4},0)$ är derivatan inte 0, den är inte definierad. Det är en singulär punkt där derivatan ej existerar.

Detta eftersom att om funktionen ska vara deriverbar i en punkt x så måste höger -och vänsterderivatan existera och ha samma värde.

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, om x\ge 0\\ -x,om x<0\end{array}\right.$

Derivatans def.

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}= \underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}= \underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=L (Där L är ett ändligt tal)$

Högerderivatan i punkten x = 0

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(h\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=1 \\ Ty h \to 0^{+} \iff h>0 \Rightarrow \left|h\right|=h \end{gathered}$$

Vänsterderivatan i punkten x = 0

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(h\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=-1 \\ Ty h \to 0^{-} \iff h<0 \Rightarrow \left|h\right|=-h \end{gathered}$$

Så höger -och vänsterderivatan är inte likadana, därav är den inte deriverbar i punkten x = 0.

Ja ska äta middag nu, super svält och kommer tillbaka om en stund. 

beerger skrev:

I punkten $(-\frac{5}{4},0)$ är derivatan inte 0, den är inte definierad. Det är en singulär punkt där derivatan ej existerar.

 

Detta eftersom att om funktionen ska vara deriverbar i en punkt x så måste höger -och vänsterderivatan existera och ha samma värde.

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, om x\ge 0\\ -x,om x<0\end{array}\right.$

Derivatans def.

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}= \underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}= \underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=L (Där L är ett ändligt tal)$

Högerderivatan i punkten x = 0

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(h\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=1 \\ Ty h \to 0^{+} \iff h>0 \Rightarrow \left|h\right|=h \end{gathered}$$

Vänsterderivatan i punkten x = 0

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(h\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=-1 \\ Ty h \to 0^{-} \iff h<0 \Rightarrow \left|h\right|=-h \end{gathered}$$

Så höger -och vänsterderivatan är inte likadana, därav är den inte deriverbar i punkten x = 0.

vill inte skapa något bråk men tycker själv att använda derivata i denna uppgiften är att göra det svårare än vad man behöver

Det var en förklaring till hans "när x = -1.25 blir derivatan (lutning) = 0."

Detta stämmer inte ty den ej är deriverbar då x = -1.25

Om det finns några max/min så finns det i följande:

• Ändpunkter
• Singulära punkter (där derivatan ej är def.)
• Kritiska punkter (där derivatan är 0)

Eftersom detta är ett öppet intervall så kan inte ändpunkter kontrolleras.

Jag skrev detta ovan för att det är en viktig sats att kunna, som underlättar väldigt mycket. Var finns det ett lok. min? Jo i en singulär punkt, vilket betyder att derivatan ej är def. där.

Marcus N skrev:

Ja har plottat fkn i desmos, vet ej om det hjälpa till? 

Du bör absolut 😉 träna på att rita grafen för hand eftersom du inte kan räkna med att alltid ha Desmos, grafräknare eller andra digitala hjälpmedel till ditt förfogande.

Det är enkelt om du bara kommer ihåg definitionen av absolutbelopp:

• $|a|=a$ då $a\geq0$
• $|a|=-a$ då $a<0$

Det ger dig direkt att

• $|4x+5|=4x+5$ då $4x+5\geq0$, dvs då $x\geq -1,25$
• $|4x+5|=-(4x+5)=-4x-5$ då $4x+5<0$, dvs då $x<-1,25$

Det verkar som ni har typ fortfarande inte förklarat hur man kan beräkna max/min värde till fkn, abs(4x+5). 

Det finns inga ändpunkter

Det finns inga kritiska punkter (där derivatan är 0)

Därav måste det (om det finns en extrempunkt) vara i en singulär punkt. Där derivatan ej är definierad. Var är derivatan inte definierad?

Ehhhhh......... -5/4 ?? Vad beerger är att det finns ingen någon största/minsta eller lokalt maxi-värde, utan bara lokalt minimum. 

Och den är -5/4 = -1.25? 

Precis, det finns bara ett lokalt minimum, ingen absolut max/min (detta ty det är ett öppet intervall).

x = -1.25 är inte svaret. (-1.25, 0) är en minimipunkt

När x = -1.25 så antar funktionen sitt lägsta värde. Vad är det?

4*(-1.25)+5 = 0, när x =-5/4 är y = 0 

Precis!

Så vi har ett lokalt minimivärde vid x = -1,25 som är 0

Och det finns ingen annat svar till uppgiften, så typ globalt största/min eller lokalt maxi värde alla dessa värdena existerar ej, eller? 

Nej! Bara ett lokalt min.

Jag tycker personligen man inte behöver kolla varken på derivator eller gränsvärden. 

Vi kan uttrycka f(x) som två räta linjer, nämligen 4x+5 och -4x-5, vi ser direkt att -4x-5 är negativ då x=1 och max värdet fås då 4x+5 uppnår öndpunkten då x=1. Vi behöver alltså bara maximera 4x+5 vilket självklart är strängt växande och uppnår ett lokalt max o varje punkt då $x>0$.

@ Dracaena, nu blir ja helt förvirrad igen. Vad du mer tydligt? 

Dracaena skrev:

Jag tycker personligen man inte behöver kolla varken på derivator eller gränsvärden. 

Vi kan uttrycka f(x) som två räta linjer, nämligen 4x+5 och -4x-5, vi ser direkt att -4x-5 är negativ då x=1 och max värdet fås då 4x+5 uppnår öndpunkten då x=1. Vi behöver alltså bara maximera 4x+5 vilket självklart är strängt växande och uppnår ett lokalt max o varje punkt då $x>0$.

Givetvis är det lite överflödigt med derivata.  Jag presenterade snarare en viktig sats för extrempunkter.

Det finns dessutom inga lokala max? Du kanske menade min?

Jag är väldigt trött nu, kan vi ta det lugnt och forsätta imorgon, när ja ha mer energi i banken.

Marcus N skrev:

@ Dracaena, nu blir ja helt förvirrad igen. Vad du mer tydligt? 

Jag ser nu att Yngve redan sagt det Jag påvisade ovan. Yngve är betydligt tydligare, läs igenom det igen.

@beerger, jag läste inte noga, såg bara derovator och gränsvärden nämnas. Ts verkar dock förvirrad av alla olika alternativ som presenterasts i tråden.

Jag menade fkr övrigt att den räta linjen uppnår ett globalt max i varje punkt.

Okej! Händer ofta en själv att man inte orkar läsa igenom allt i en lång tråd.

Det blev nog lite förvirrande för ts, men derivata/gränsvärden var bara med för att bevisa att derivatan i x = -1,25 inte är 0, utan i själva verket ej def. Visade beviset för det bara, jag kan personligen tycka att det är bra att få presenterat för mig varför saker är som de är.