11 svar
71 visningar
naytte 4047 – Moderator
Postad: 13 maj 15:11 Redigerad: 13 maj 15:11

Finns det en sådan sats?

Halloj!

Finns det någon sats för de reella talen (eller komplexa för den delen) som säger att given två tal x,kx,k, kan man alltid hitta ett tal yy sådant att x+y=kx+y=k

På motsvarande sätt, finns det en sats som säger samma sak fast för xy=kxy=k?

Tack på förhand!

Calle_K 1734
Postad: 13 maj 15:18 Redigerad: 13 maj 15:19

x+y=k fungerar eftersom att de reella och komplexa talen är slutna under addition.

xy=k kommer tyvärr inte fungera för de reella talen, ta t.ex. x=0 och k=1.
Dock fungerar det för \0 (och motsvarande för de komplexa talen).

naytte 4047 – Moderator
Postad: 13 maj 15:20 Redigerad: 13 maj 15:21

Dock fungerar det för {0}\mathbb{R}\setminus \{0\} (och motsvarande för de komplexa talen).

Eftersom de reella talen är slutna under multiplikation då, antar jag? (bortsett från 0!)

Hur visar man egentligen slutenhet för räknesätten? Jag har bara köpt att vissa mängder är slutna och andra inte, men hur visar man att det är så?

Calle_K 1734
Postad: 13 maj 15:21
naytte skrev:

Dock fungerar det för {0}\mathbb{R}\setminus \{0\} (och motsvarande för de komplexa talen).

Eftersom de reella talen är slutna under multiplikation då, antar jag? (bortsett från 0!)

Precis, mängden \0 är sluten under multiplikation. Medan hela  är sluten under addition.

Calle_K 1734
Postad: 13 maj 15:23 Redigerad: 13 maj 15:23

Hur visar man egentligen slutenhet för räknesätten? Jag har bara köpt att vissa mängder är slutna och andra inte, men hur visar man att det är så?

Det följer ganska direkt av definitionen av grupper har jag för mig. Vet inte exakt på vilket sätt, men sök upp lite om grupper (eller "abstract algebra" om du vill ha engelsk litteratur).

naytte 4047 – Moderator
Postad: 13 maj 15:25 Redigerad: 13 maj 15:25

Yes, tack så mycket!

Jag diskuterade nämligen den där satsen om infinitesimala förändringskvoter med min handledare och han sade att han kunde köpa min motivering med att man alltid kan hitta ett kk sådant att f(x+ε~)=f(x)+kε~f(x+\tilde\varepsilon) = f(x)+k\tilde\varepsilon OM jag lyckas visa slutenhet för multiplikation i min utvidgade mängd.

Calle_K 1734
Postad: 13 maj 15:27
naytte skrev:

Jag diskuterade nämligen den där satsen om infinitesimala förändringskvoter med min handledare och han sade att han kunde köpa min motivering med att man alltid kan hitta ett kk sådant att f(x+ε~)=f(x)+kε~f(x+\tilde\varepsilon) = f(x)+k\tilde\varepsilon OM jag lyckas visa slutenhet för multiplikation i min utvidgade mängd.

Spännande! Ja, kika på beviset för slutenhet av \0 t.ex. Det beviset du behöver följer förhoppningsvis ganska naturligt.

naytte 4047 – Moderator
Postad: 14 maj 22:29

Jag tror jag fick till ett fint bevis av slutenhet nu för multiplikation. Jag härmade ungefär hur man visar slutenhet för multiplikation över \mathbb{Z}.

oggih 1182 – F.d. Moderator
Postad: 15 maj 10:17 Redigerad: 15 maj 10:20

Vad menar ni när ni pratar om slutenhet?

Jag skulle personligen säga att en mängd MM är sluten under en operation \star om xyx\star y ligger i MM för alla x,yMx,y\in M.

Med den definitionen är hela \mathbb{R} slutet under både addition och multiplikation. Men det stämmer även att {0}\mathbb{R}\setminus\{0\} är slutet under multiplikation (men inte addition).

naytte 4047 – Moderator
Postad: 15 maj 14:34 Redigerad: 15 maj 14:41
oggih skrev:

Jag skulle personligen säga att en mängd MM är sluten under en operation \star om xyx\star y ligger i MM för alla x,yMx,y\in M.

Det är detta jag avser med slutenhet också. Du har helt rätt i att hela \mathbb{R} är sluten under multiplikation. Saken här var just att om x=0x=0 fungerade det inte. Därför lade CalleK till kravet att noll utesluts.

Tomten 1713
Postad: 15 maj 14:57

R är en kropp och i axiomen för en kropp    saknar 0 multiplikativ invers men multiplikationen är sluten. För att visa detta återföres på slutenheten för Q. Detta sker inte utan en viss möda, eftersom man måste gå tillbaka på Dedekindsnitten.

naytte 4047 – Moderator
Postad: 15 maj 14:59 Redigerad: 15 maj 15:06

Om någon är intresserad ser mitt "bevis" ut på följande sätt:

Vi börjar med att utgå ifrån definitionen av division:

p,q,u,v{ε}:[(p,q)]·[(u,v)]:=[(pu,qv)]\displaystyle \forall p,q,u,v\in\mathbb{R}\{\varepsilon\}:[(p,q)]_\asymp\cdot[(u,v)]_\asymp:=[(pu,qv)]_\asymp

Mängden som innehåller alla kvoter (som definieras med hjälp av \asymp kallar jag (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) och definieras som:

(ε)={ε}×({ε}{0})/\displaystyle \mathbb{R}(\varepsilon)=\mathbb{R}\{\varepsilon\}\times(\mathbb{R}\{\varepsilon\}\setminus\{0\})/\asymp

Relationen \asymp definieras enligt: (x1,y1)(x2,y2)x1y2=x2y1\displaystyle (x_1,y_1)\asymp (x_2, y_2) \iff x_1 y_2 = x_2 y_1, där (x1,y1),(x2,y2){ε}×({ε}{0})(x_1,y_1),(x_2, y_2) \in \mathbb{R}\{\varepsilon\}\times(\mathbb{R}\{\varepsilon\}\setminus\{0\})

p/qp/q definieras då som [(p,q)][(p,q)]_\asymp

Vidare konstaterar vi att:

p,q,u,v{ε}:[(p,q)](ε),[(u,v)](ε)\displaystyle \forall p,q,u,v\in\mathbb{R}\{\varepsilon\}:[(p,q)]_\asymp\in\mathbb{R}(\varepsilon),[(u,v)]_\asymp\in\mathbb{R}(\varepsilon)

Eftersom a,b{ε}:ab{ε}\displaystyle \forall a,b\in\mathbb{R}\{\varepsilon\}:ab\in\mathbb{R}\{\varepsilon\}

Ser vi att:

[(pu,qv)](ε)\displaystyle [(pu,qv)]_\asymp\in\mathbb{R}(\varepsilon)

Det vill säga, vi kommer aldrig hamna utanför mängden då vi gör en multiplikation av två bråk. Nu har jag struntat i att skriva till att bl.a. nämnare inte får ha noll i sig osv... Men men.


Vet inte hur mycket det säger eftersom jag inte har visat mitt arbete men om det finns någon stor brist syns det förhoppningsvis.


Tillägg: 15 maj 2024 15:02

Jag får ett slaganfall på det här. LaTeX-formattering förstörs varje gång jag trycker på posta... Tror det finns ett problem med LaTeX-formattering då man försöker skriva den i en spoilerruta.

Svara Avbryt
Close