Finns det en sluten formel för "kontinuerliga produkter"?

Hej!

Jag funderade nyligen på om man kan definiera en "kontinuerlig produkt" på samma sätt som man kan definiera en integral som en "kontinuerlig summa" av förändringar. Definitionen jag tänker mig är, utan att vara alltför rigorös, något i stil med

$\displaystyle \mathcal{P}\left(f,\left[a,b\right]\right):=\lim_{dx\to 0}\prod_{a}^{b} f\left(x\right)^{dx}$

Om vi logaritmerar båda led och kör lite YOLO-matematik med gränsvärdet får vi

$\displaystyle \ln\mathcal{P}\left(f,\left[a,b\right]\right)=\ln \lim_{dx\to 0}\prod_{a}^{b} f\left(x\right)^{dx}=\lim_{dx\to 0}\sum_{a}^{b}dx\ln\left(f\left(x\right)\right)=\int_{a}^{b}dx\ln\left(f\left(x\right)\right)$

Vi har alltså att

$\displaystyle \mathcal{P}\left(f,\left[a,b\right]\right)=\exp\int_{a}^{b}dx\ln\left(f\left(x\right)\right)$

Min fråga är nu, finns det någon sluten formel för den här integralen, alltså någon variant av integralkalkylens fundamentalsats fast för "kontinuerliga produkter" istället för summor? Den enda "förenklingen" jag kan komma på är att använda partiell integrering, vilket kanske gör uttrycket snällare för numeriska lösningar, men inte mer än så.

Dessutom undrar jag också om vi kan ge den "kontinuerliga produkten" någon trevlig tolkning. Integralen kan vi ju tolka som en slags kumulativ förändring i en funktion. Finns det något liknande här?