First-order regression model

Hej!

Uppgift A. Du ska uttrycka din AR(1)-modell som en MA-modell,

    $\displaystyle x_{t} = \mu_{t} + w_{t} + \psi_{1}w_{t-1} + \psi_{2}w_{t-2} + \psi_{3}w_{t-3} + \cdots = \mu + w_{t} + \sum_{k=1}^{\infty} \psi_{k}w_{t-k}.$

Koefficienterna ($\psi$) måste bli mindre ju längre tillbaka i tiden man går, så att

    $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}|\psi_{k}| < \infty;$

så småningom gäller det att $|\psi_{k}|$ är mindre än $1/k$.

• Eftersom alla brustermer ($w$) har väntevärde noll så är

        $\displaystyle\mu_{t} = \mathbf{E}(x_{t})$.

• Upprepad insättning av AR-modellen i sig själv ger den önskade MA-modellen.

        $\displaystyle x_{t} = 10 + 0.9\cdot 10 + 0.9^2x_{t-2} + 0.9 w_{t-1}+w_{t} = 10(1+0.9+0.9^2+\cdots) + w_{t} + 0.9w_{t-1} + 0.9^2w_{t-2} + 0.9^3w_{t-3}+\cdots$.

Kontroll: Bekräfta att dessa $\psi$-vikter så småningom är små (mindre än $1/k$).

Uppgift B. Processvärdets prognos vid tidpunkten $t = 51$ är lika med väntevärdet $\mathbf{E}(x_{51}).$

• Den givna AR-modellen ger prognosen 

        $\displaystyle\hat{x}_{51} = \mathbf{E}(x_{51}) = 10 + 0.9\mathbf{E}(x_{50}) + \mathbf{E}(w_{51}) = 10 + 0.9 \cdot 20 + 0.$

• Prognosens medelfel är lika med standardavvikelsen

        $\displaystyle \text{SE}(\hat{x}_{51})=\sqrt{\text{Var}(x_{51})} = \sqrt{\text{Var}(x_{50})+\text{Var}(w_{51})+\text{Cov}(x_{50},w_{51})},$ där kovariansen mellan $x_{50}$ och $w_{51}$ är lika med noll eftersom brustermen $w_{51}$ är okorrelerad med tidigare brustermer (som bygger upp processvärdet $x_{50}$).

• Prognosens prediktionsintervall (med konfidensgrad 95 %) är lika med intervallet

        $\displaystyle\hat{x}_{51} \pm 1.96 \text{SE}(\hat{x}_{51}).$

Albiki