Flervar: Variabelbyte, integral, tan^x

Du skriver så otydligt att dt är svårt att förstå vad du menar. Man måste skriva ett argument för t ex tangens-funktionen - att bara skriva "tan" utan argument är lika obegripligt som att skriva bara ett rot-tecken. Dessutomskall du hitta en primitiv funktion till funktionen f(x)=(tan(x))², inte derivera funktionen.

Jag vet att jag letar efter en primitiv funktion till ${\tan }^{2}x$, jag försöker förstå sista steget i ett exempel.

De gör om ${\tan }^2\left(x\right)$ till $se{c}^2\left(x\right)-1$, och skapar sedan den primitiva funktionen $\tan \left(x\right)-x$.

Men jag kan skriva hela uppgiften om det ger mer klarhet till min fråga.

Uppgift:

R är delen av en ring $o<a^2\le x^2+y^2\le b^2$som ligger i första kvadranten och under linjen $y=x$

Utvärdera: $I=\iint {}_R\frac{y^2}{x^2}dA$

Lösning:

linjen y=x ger en vinkel på ${45}^o, \frac{\pi }{4} radianer$. 

funktionen kan skrivas om till polära koordinater: $f\left(x\right)=\frac{y^2}{x^2}=\frac{r^2*{\sin }^2\left(\theta \right)}{r^2*{\cos }^2\left(\theta \right)}={\tan }^2\left(\theta \right)=se{c}^2\left(\theta \right)-1$

f(x) har begränsningarna: $0\le \theta \le \frac{\pi }{4}, a\le r\le b$

Detta ger: $I={\int }_a^{b}r dr {\int }_0^{\pi /4}se{c}^2\left(\theta \right)-1=\frac{1}{2}(b^2-a^2) {\int }_0^{\pi /4}se{c}^2\left(\theta \right)-1$

Nu kommer problemet och min fråga:

Integralen ${\int }_0^{\pi /4}se{c}^2\left(\theta \right)-1$, i facit blir den primitiva funktionen $={\left[\tan \right(\theta )-\theta ]}_0^{\pi /4}$

Jag vill säga att $se{c}^2\left(\theta \right)-1 \leftrightarrow {\tan }^2\left(\theta \right)+1$, som i sin tur har den primitiva funktionen $\tan \left(\theta \right)$.

Min tolkning av facit säger att $se{c}^2\left(\theta \right)\to F\left(x\right)=\tan \left(\theta \right)$, men tycker det känns konstigt.

Är det för att $sec\left(\theta \right)=\frac{1}{\cos \left(\theta \right)}?$

Jag har fått fram det här: $D\left(\tan \right)={\tan }^2+1=\frac{1}{{\cos }^2}=se{c}^2-1$

Det sista uttrycket där är fel, D(tan x)=tan^2(x)+1 = sec^2(x). Sedan är det bara att ta -1 och integrera term för term.

Du har väl att ${\tan }^2\left(\theta \right)=se{c}^2\left(\theta \right)-1$ ?

Nästa steg vore väl vara att finna en primitiv funktion till $se{c}^2\left(\theta \right)-1$.Notera att 

$\int se{c}^2\left(\theta \right)-1d\theta =\int se{c}^2\left(\theta \right)d\theta -\int d\theta =\tan \theta -\theta$.

Hjälper detta med Din fråga? 

cjan1122 skrev:

Jag har fått fram det här: $D\left(\tan \right)={\tan }^2+1=\frac{1}{{\cos }^2}=se{c}^2-1$

Det sista uttrycket där är fel, D(tan x)=tan^2(x)+1 = sec^2(x). Sedan är det bara att ta -1 och integrera term för term.

Jo jag vet.. tänkte att ${\tan }^2+1\to se{c}^2-1$, då man flyttar 1 från VL till HL. Det ser lite konstigt ut men då har jag nog varit lite för snabb för mig själv.

$se{c}^2=\frac{1}{{\cos }^2}?$

Då är: ${\tan }^2+1=se{c}^2 \leftrightarrow {\tan }^2=se{c}^2-1?$

Happyeagle skrev:

Du har väl att ${\tan }^2\left(\theta \right)=se{c}^2\left(\theta \right)-1$ ?

Nästa steg vore väl vara att finna en primitiv funktion till $se{c}^2\left(\theta \right)-1$.Notera att 

$\int se{c}^2\left(\theta \right)-1d\theta =\int se{c}^2\left(\theta \right)d\theta -\int d\theta =\tan \theta -\theta$.

Hjälper detta med Din fråga? 

så då är den primitiva funktionen till $se{c}^2\left(x\right)=\tan \left(x\right)?$, dvs. att $se{c}^2\left(x\right)-1\ne \tan \left(x\right)?$

PhilipL skrev:

Happyeagle skrev:

Du har väl att ${\tan }^2\left(\theta \right)=se{c}^2\left(\theta \right)-1$ ?

Nästa steg vore väl vara att finna en primitiv funktion till $se{c}^2\left(\theta \right)-1$.Notera att 

$\int se{c}^2\left(\theta \right)-1d\theta =\int se{c}^2\left(\theta \right)d\theta -\int d\theta =\tan \theta -\theta$.

Hjälper detta med Din fråga? 

så då är den primitiva funktionen till $se{c}^2\left(x\right)=\tan \left(x\right)?$, dvs. att $se{c}^2\left(x\right)-1\ne \tan \left(x\right)?$

Ja, en primitiv funktion till $se{c}^2\left(x\right)$är $\tan \left(x\right)$. Testa att derivera $\tan \left(x\right)$ för att se detta.

Då är jag med!

Tack!