3 svar
86 visningar
Freewheeling är nöjd med hjälpen!
Freewheeling 93
Postad: 5 jul 2019 Redigerad: 5 jul 2019

Följd av slutna mängder och kompakthet

Hej,

Låt (M,d)(M,d) vara ett metriskt rum. Antag att följande villkor gäller för M: Givet en minskande följd av mängder F1F2F3F_1 \supset F_2 \supset F_3 \supset \dots i M, där FnF_n är sluten och icke-tom för alla n, så gäller att snittet n=1Fn\cap_{n=1}^{\infty} F_n är icke-tomt.

Jag vill då visa att M är kompakt. Jag vet att M är kompakt om (och endast om) varje följd i M har en konvergent delföljd (som konvergerar i M). Låt nu (xn)(x_n) vara en följd i M och betrakta mängderna { xk:kn} \{\ x_k : k \geq n \}\, för n=1,2,3,... Detta är en minskande sekvens av mängder och om vi inkluderar alla gränspunkter så vi får "förslutningen" (eng. closure) { xk:kn} ¯\overline{\{\ x_k : k \geq n \}\ } av mängderna så har vi en minskande sekvens av icke-tomma och slutna mängder. Därmed så gäller att snittet n=1{ xk:kn} ¯\cap_{n=1}^{\infty} \overline{\{\ x_k : k \geq n \}\ } innehåller något element xMx \in M. Kan jag utifrån detta på något vis inse att (xn)(x_n) har en delföljd som konvergerar till x? Hur kan jag inse det?

Tack på förhand för ev. svar!

SeriousCephalopod Online 1807
Postad: 5 jul 2019 Redigerad: 5 jul 2019

Upprepar delar av det du redan konstaterat för att se till att vi talar om samma saker.

Det finns ett generellt trick i elementär analys att försöka arbeta in geometriska sekvenser såsom 1/2n1/2^n i sina lösningar när man vill ha något som minskar på ett garanterat konvergent sätt. 

Min förslag på en ansats är att först välja en punkt xx snittet av dina förslutna sekvensmängder och därefter bara, via en beskrivning, förklara hur man kan konstruera en (del)sekvens (xi)(x_i) där avstånden mellan punkterna i delsekvensen och punkten i snittet minskar geometriskt. Säg

|xi-x|<1/2i|x_i - x| < 1/2^i

För det får du utnyttja att randpunkters egenskaper är att man kan hitta punkter i mängder som är "godtycklig nära" dem och där den geometriska sekvensen fyller rollen av det där åberopade godtyckliga avståndet. 

Freewheeling 93
Postad: 8 jul 2019

Tack för svaret, SeriousCephalopod. Jag tror jag jag kan ha lyckats med uppgiften att beskriva hur man kan konstruera en delföljd som konvergerar till en punkt x i snittet. Den blev något rörig och långdragen men hoppas den inte innehåller några större fel.

 

Vi konstruerar en delföljd xnix_{n_{i}} från xnx_n enligt följande. För att välja xn1x_{n_{1}}, betrakta { xk:k1} \{\ x_k : k \geq 1 \}\ . Vi har att x{ xk:k1}x \in \{\ x_k : k \geq 1 \}\ eller x{ xk:k1} ¯ x \in \overline{\{\ x_k : k \geq 1 \}\ } (eller så är x i båda mängderna). Om x{ xk:k1}x \in \{\ x_k : k \geq 1 \}\ eller om x är i båda mängderna så väljer vi det minsta indexet k1k \geq 1 sådant att xk=xx_k = x och låter xn1=xkx_{n_{1}}=x_k (detta kan göras genom well-ordering principle). Om x{ xk:k1} ¯ x \in \overline{\{\ x_k : k \geq 1 \}\ } och x{ xk:k1}x \notin \{\ x_k : k \geq 1 \}\ så väljer vi det minsta indexet k1k \geq 1 sådant att d(xk,x)<1d(x_k,x)<1 (detta kan göras då x är en randpunkt till { xk:k1} \{\ x_k : k \geq 1 \}\ ).

Antag nu att vi har valt element xn1,xn2,,xnix_{n_{1}},x_{n_{2}}, \dots ,x_{n_{i}} till vår delmängd, där ni=jn_{i}=j. Vi väljer då xni+1x_{n_{i+1}} enligt följande. Betrakta mängden { xk:kj+1} \{\ x_k : k \geq j+1 \}\ . Vi har att x{ xk:kj+1}x \in \{\ x_k : k \geq j+1 \}\ eller x{ xk:kj+1} ¯ x \in \overline{\{\ x_k : k \geq j+1 \}\ } (eller så är x i båda mängderna). Om x{ xk:kj+1}x \in \{\ x_k : k \geq j+1 \}\ eller om x är i båda mängderna så väljer vi det minsta indexet kj+1k \geq j+1 sådant att xk=xx_k = x och låter xni+1=xkx_{n_{i+1}}=x_k. Om x{ xk:kj+1} ¯ x \in \overline{\{\ x_k : k \geq j+1 \}\ } och x{ xk:kj+1}x \notin \{\ x_k : k \geq j+1 \}\ så väljer vi det minsta indexet kj+1k \geq j+1 sådant att d(xk,x)<1/(i+1)d(x_k,x)<1/(i+1).

Genom induktion kan vi då säga att vi har konstruerat en delföljd xnix_{n_{i}} från xnx_n som uppfyller följande. För varje ii har vi att xni=xx_{n_{i}}=x eller d(xni,x)<1/id(x_{n_{i}},x)<1/i, så delföljden konvergerar till x.

Ser ut att fungera. Kanske lite på den plottriga sidan formuleringsmässigt men så blir det lätt.

Svara Avbryt
Close