För vilka värden är trippelintegralen konvergent & hur ska man bestämma Jacobianen?

Halloj!

Jag sitter med uppgift 7.52 ur övningsboken till Flerdimensionell Analys av Jonas Månsson. Frågan lyder:

För vilka reella $\alpha$ är integralen

$\displaystyle \iiint_K\frac{1}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\alpha/2}}dxdydz$

där $\displaystyle K := \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2 \ge 1\}$ konvergent? Vad blir integralens värde för dessa $\alpha$ ?

Det ser riktigt trevligt ut att införa sfäriska koordinater här, eftersom nämnaren ser ut som att den då kommer förenklas betydligt. Låt oss därför införa koordinattransformationen:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x= r\sin\theta\cos\varphi \ y=r\sin\theta\sin\varphi \ z=r\cos\theta \end{array}\right.$

Då vi inför detta variabelbyte kommer området $K$ avbildas på ett område $\bar{K}$ . Vad gäller Jacobianen har jag redan här lite svårigheter. Hur ska jag veta i förväg i vilken ordning med avseende på $r,\theta,\varphi$ jag ska ta de partiella derivatorna av $x,y,z$ ? Jag har sett t.ex:

$\displaystyle J=\begin{vmatrix}x^\prime_r & x_\theta^\prime & x_\varphi^\prime\y_r^\prime & y_\theta^\prime & y_\varphi^\prime \z_r^\prime & z_\theta^\prime & z_\varphi^\prime\end{vmatrix}$

Men hur ska jag veta att det är just denna ordning kolonnerna (och raderna!) ska vara i? Om jag hade bytt plats på t.ex. kolonn 1 och kolonn 2 hade väl funktionaldeterminanten givit mig något annat? Och detsamma gäller raderna; hur vet man att t.ex. rad 1 och rad 2 är på rätt plats?

Men var används $\alpha$ ?

Råkade skriva fel. Nämnaren ska vara upphöjd med $\alpha/2$ . Fixar när jag är hemma

Jacobianen/Funktionaldeterminanten står i absolutbeloppet i variabelbytesformeln. Om man skriver kolumner / rader i en annan ordning, så får man bara ett extra minustecken som absolutbeloppet tar hand om.

Ordningen är alltså oväsentlig vid variabelbyte.

Så om jag hade skrivit t.ex:

$\displaystyle J=\begin{vmatrix}y^\prime_\theta & y_r^\prime & y_\varphi^\prime\\x_\theta^\prime & x_r^\prime & x_\varphi^\prime \\z_\theta^\prime & z_r^\prime & z_\varphi^\prime\end{vmatrix}$

så hade det blivit rätt ändå?

Japp. (Man kommer att undra vad du håller på med, men det är faktiskt korrekt...)

Uppdaterade #5 medan du svarade (sorry!). Hade det fortfarande blivit rätt?

Yes

Okej, det är betryggande! :D

Vid vanliga variabelbyten som till polära eller sfäriska koordinater har vi kanske en ordning vi "brukar" skriva determinanten i men för mer exotiska variabelbyten hade väl ingen brytt sig om i vilken ordning man skriver det i determinanten?

naytte skrev:
....polära eller sfäriska koordinater har vi kanske en ordning vi "brukar" skriva....

...för mer exotiska variabelbyten hade väl ingen brytt sig om i vilken ordning....

Exakt!

Okej, så för att förtydliga: så länge samma substitutionsvariabel ( $\theta$ , $r$ och $\varphi$ ) ligger i samma kolonn (t.ex. har vi endast derivator map. på $\theta$ i kolonn 1 i #5), så kan man sätta upp determinanten hur man vill?

Tips är också att funktionaldeterminanten för polära och sfäriska byten är så vanligt förekommande att de kan memoreras. Det godkänns på tentan.

Yes, tack! Jag kan dem redan utantill men jag frågar bara för att förstå teorin 🙂

Om du byter två rader eller kolonner hos en determinant så byter determinanten tecken. Men eftersom vi skall ta beloppet så spelar det ingen roll.

Så det som är spelar roll är med andra ord att (1) samma funktion är på samma rad (x på en rad, y på en rad etc.) samt att (2) alla partiella derivator med avseende på samma variabel är i samma kolonn (alla med avseende på r är i samma kolonn, alla med avseende på theta etc.)?

Ja, det är rätt. Du kan förstås också transponera determinanten utan att dess värde ändras. (detA = detA^T)

Det kan vara värt att nämna att för Jakobianen som determinant spelar ordningen naturligtvis ingen roll om man endast bryr sig om dess absolutbelopp. Men inom differentialgeometri och vektoranalys menar man (ofta) att Jakobianen är själva matrisen. Eftersom varje kolonn utgör en sorts tangentvektor som tillsammans spänner upp ett infinitesimalt transformationselement (som jag tror ni studerade en annan tråd när ni funderade över areaförstoringen) är det "naturligt" att använda Jakobianens kolonner som en bas för transformationen. Man kallar den på det sättet inducerade basen "den naturliga basen", "den kanoniska basen" eller "transformationens tangentbas".

Då spelar uppräkningsordningen roll, bland annat om vill ha ett naturligt högerorienterat koordinatsystem. En uppräkningsordning där tangentbasen ger en positiv determinant är en "positivt orienterad transformation" och dessa egenskaper används sedan vid transformation av "riktningsberoende" pseudotensorer som till exempel kryssprodukten.

I notation beskriver man uppräkningsordningen i volyms- och linjeelement (oavsett antalet dimensioner). T.ex. implicerar areaelementet $r\mathrm{d}r \mathrm{d}\theta$ uppräkningsordningen $(r,\theta)$ .

Svara

Visa senaste svar