17 svar
96 visningar
Alex; är nöjd med hjälpen
Alex; 282
Postad: 20 feb 10:12 Redigerad: 20 feb 10:16

Förändringshastigheter

En vattentank med längden 4,5 meter har formen av ett liggande rakt prisma. Tvärsnitsarean är en liksidig triangel med sidan 75 cm. Från tankens botten rinner vatten ut med hastigheten 150liter/minut. Hur snabbt sjunker vattennivån då vattendjupet är 25 cm?

Skulle uppskatta om jag kunde få lite hjälp med att uttrycka V(h). 
Tacksam för svar!

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 20 feb 10:27

Du måste hitta sambandet mellan basen och höjden av triangeln som utgör sidan på triangeln, eller hur? Vinklarna på triangeln kommer alltid att vara samma, oavsett vätskevolym. Alltså borde du kunna använda likformighet.

Hänger du med?

Alex; 282
Postad: 20 feb 10:34

Jag har använt likformighet för att räkna ut x. Vilken triangel menar du? Det som jag har svårt med är att definiera vad basytan blir när prisman ligger ner och höjden. 

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 20 feb 10:50

Du har ställt upp ett uttryck för vätskevolymen i tanken, som du kan använda

V(h)=b·h2·L

Du känner L som är konstant, oberoende av vätskevolym. Problemet är att både b och h kommer att ändras när tanken töms. Alltså måste du försöka hitta ett sätt att uttrycka b som en funktion av h, och som du kan använda i din formel som då kommer att få utseendet som du vill, dvs V(h).

Titta på tankens form (och den triangel som du ritat) den har en form som gör att bmax2·hmax=tanv

där v är den spetsiga vinkeln. Hur måste då sambandet mellan b och h se ut även då h är mindre?

Alex; 282
Postad: 20 feb 11:17

Du har alltså uttrycket höjden av den triangeln som jag ritat med hjälp av trigonometrin:

tan v=motstående/närliggande.

tanv= (75/2)/(h)=> tanv=75/2h.

Jag räknar x på samma sätt och får att

tanv=x/25

Tänker jag fel?

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 20 feb 11:42

Ja du tänker lite fel. 

tan v=motstående/närliggande.

tanv= (75/2)/(h)=> tanv=75/2h.

precis, men h här kan du räkna ut med tex pythagoras. tanv är alltså en konstant, och oberoende av hur mycket vätska som finns i tanken. Såhär:

Ser du hur du kan använda sambandet mellan b och h, i din formel för V(h)?

Alex; 282
Postad: 20 feb 12:02

Hur kommer man fram till att tanv=b/2h ?

I bilden som jag ritat ser jag att tanv=b/50.

Tror du att det blir lättare för mig att teckna en funktion för volymen om jag förstår vad basytan och höjden blir när vi har prisman liggande?

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 20 feb 12:20

Den där höjden är höjden på vätskenivån då tanken då tanken är full. Den höjden kan du inte använda i formeln

V(h)=b·h2·L för att beräkna hur mycket vätska som finns i tanken vid andra vätskehöjder än då tanken är full.

I kommentar #6 visade jag hur "vätskeytans kortsida" beror på vätskehöjden,

b=23h 

om man sätter in det sambandet i formeln för volymen, så får man

V(h)=b·h2·L=23h·h2·L=L3·h2

Där har du sambandet för hur vätskevolymen beror av vätskehöjden.

Hänger du med? 

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 20 feb 13:56

Såhär:

Alex; 282
Postad: 20 feb 21:40

Uppskattar verkligen din hjälp och förklaring. Jag har sett ett annat lösningsförslag på Pluggakuten.se där man använder sig av likformighet, dvs förhållandet mellan trianglarnas sidor som det står i uppgiften. Då antar jag att man inte behöver använda tan v. Vet inte om du orkar mer.

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 20 feb 22:28 Redigerad: 20 feb 22:29

Ingen fara,  bara kör på! (Det är du som jobbar...)

Att använda tanv som förhållande eller att utnyttja likformigheten är samma sak. Jag tänkte att det var lite enklare att hänga upp det på att trianglarna delar vinklar, men det behöver det ju inte vara.

Likformighet ger:

katet1(stora triangeln)katet2(stora triangeln)=7527532=13=likformighet=b2h

Rätvinkliga trianglar med lika vinklar ger:

tan v=katet1(stora triangeln)katet2(stora triangeln)=7527532=13=b2h

Alex; 282
Postad: 21 feb 10:42

Stort tack. Nu har jag ändrat alla mått till dm då vi har att dv/dt=-150 liter/min. Tack vare dina fina bilder förstår jag nu att det är basen och höjden på lilla triangeln som är basytan och att det är de som varierar. Höjden blir då längden på prismat. Tycker du att det blir rätt såhär eller behöver jag ändra något mer? 

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 21 feb 11:48

Bra att du korrigerade dimensionerna till dm. Men hur är det med längden L på tanken, vilken dimension är den angiven med?

Alex; 282
Postad: 21 feb 11:59

Grymt. Det har jag missat. Det står 4,5m så det blir 45dm. Nu blir det förhoppningsvis rätt.

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 21 feb 22:39

Jag tror att det är rätt. (Men avrunda lite bättre)

Alex; 282
Postad: 22 feb 09:03

Om detta svar är korrekt så avrundar jag det till -1,2 dm/min men jag har räknat ut dh/dt flera gånger och får olika svar. Skulle du kunna dubbelkolla om denna lösning är rätt?

JohanF 4580 – Moderator
Postad: 22 feb 09:16

Jag tycker att det stämmer, men både du och jag kan göra slarvfel ibland.

Om du får olika värde varje gång du slår på miniräknaren, så ska du försöka undersöka varför du får det, genom att till exempel anteckna vad du får i varje delsteg. När du väl hittat det som skiljer så kommer du säkert att se vad som du gör annorlunda. Det kan ju vara att du slår parenteser på lite olika sätt varje gång, och om något sätt är fel så kommer du att lära dig miniräknaren bättre.

Alex; 282
Postad: 25 feb 11:49

Stort tack för hjälpen! Jag lärde mig mycket. 

Svara Avbryt
Close