Formell (Riemann?) definition av dubbelintegral

Det var ett tag sedan jag jobbade med dessa typer av uppgifter, jag har heller inte en "formell" matematik-utbildning så vet inte vad detta kan bidra med, men what the hey, forumet är väl för att diskutera och lära eller?

I alla fall. Jag skulle börja tänk att det du är intresserad av är

$\int\int\int_V dV$, dvs, du skapar små "volymelement" dV som du sedan summerar ihop, vilket blir en trippelintegral över hela den volym (volym som i "området som innesluts av en yta") du är intresserad av, när dessa volymelement dV är Infinitesimala. Det du behöver göra då är att försöka skriva ned hur dessa volymelement ser ut, och hur du ska definiera dina integrationsgränser.

Det går också att applicera på areor och sträckor:

$\int\int_A dA$ och $\int_C dC$. I det endimensionella fallet blir det ju ganska enkelt att beräkna sträckan mellan $x=a$ och $x=b$. $dC =dx$, och integrationsgränserna blir bara a och b. Och $\int_a^b dx = b -a$ vilket vi nog kunde räknat ut utan en integral :)

Som sagt, jag har rostiga kunskaper (om de ens någonsin funnits) så någon kanske ser problem i min beskrivning, då tar jag tacksamt emot det :)

Intressant!

Har inte läst så mkt teori om flervariabelanalys, men tänker att man kan introducera $\iint_{D} f$ analogt med hur man inför begreppet integrerbarhet i envariabelanalysfallet?

Steg 1. Antag $f:D \to \mathbb{R}$ är en begränsad funktion definierad över en icketom, begränsad delmängd $D$ av $\mathbb{R}^{2}$. Eftersom $D$ är begränsad kan man omsluta $D$ i en axelparallell rektangel $[a,b]\times [c,d]$. Definiera $\tilde{f}: [a,b]\times [c,d] \to \mathbb{R}$ genom $\tilde{f} \equiv f$ på $D$ och $\tilde{f} \equiv 0$ på $[a,b]\times [c,d] \setminus D$.

Steg 2. Tag indelningarna $\Pi_{1}=\{a=u_{0}<u_{1}< \cdots < u_{m}=b\}$ och $\Pi_{2}=\{c=v_{0}<v_{1}< \cdots < v_{n}=d\}$ på kanterna av $[a,b]\times [c,d]$, vilket delar in rektangeln i ett rutnät, där varje ruta har arean $(u_{i}-u_{i-1})(v_{j}-v_{j-1})$,  $i \in \{1,2, \ldots , m\}$, $j \in \{1,2, \ldots , n\}$.

Steg 3. Sedan kan man definiera två trappfunktioner (läs: pelarfunktioner) $\Phi, \Psi : [a,b]\times [c,d] \to \mathbb{R}$ sådana att $\Phi(x,y)=s_{i,j}$ och $\Psi(x,y) = t_{i,j}$ då $(x,y) \in [u_{i-1},u_{i}] \times [v_{j-1},v_{j}]$, samt $s_{i,j} \leq \tilde{f}(x,y) \leq t_{i,j}$ för alla $(x,y) \in [u_{i-1},u_{i}] \times [v_{j-1},v_{j}]$.

Steg 4. Till sist kan man definiera $I(\Phi) = \sum_{i,j} (u_{i}-u_{i-1})(v_{j}-v_{j-1}) s_{i,j}$ och $I(\Psi) = \sum_{i,j} (u_{i}-u_{i-1})(v_{j}-v_{j-1}) t_{i,j}$ - volymen av "pelarna" - och vi kan säga att $\iint_{D} f$ existerar om och endast om $\sup I(\Phi) = \inf I(\Psi)$ över alla trappfunktioner $\Phi$ och $\Psi$ och indelningar $\Pi_{1}$ och $\Pi_{2}$. Dess värde är lika med volymen av områden begränsad mellan $f$ och $D$. Av tex. squezze kan man visa att det faktiskt är fallet att $\iint_{D}f$ är volymen då volymen av området är begränsad mellan trappfunktionerna.

Claim. Om $\iint_{D} f$ existerar är $\iint_{D} f = \lim_{n \to \infty} \sum_{i,j} \frac{\tilde{f}(u_{i},v_{j})}{n^{2}}(b-a)(d-c)$, där  $u_{i} = \frac{a(n-i)+bi}{n}$ och $v_{i} = \frac{c(n-i)+di}{n}$, $i=0,1, \ldots , n$ (dvs. $u_{i}$ och $v_{i}$ delar in $[a,b]$ respektive $[c,d]$ i $n$ lika långa intervall).

Bevis (sketch). Välj $u_{i} = \frac{a(n-i)+bi}{n}$ och $v_{i} = \frac{c(n-i)+di}{n}$, $i=0,1, \ldots , n$. Tag

$\Phi(x,y) = \inf\{\tilde{f}(x,y) : x,y \in [u_{i-1},u_{i}] \times [v_{i-1},v_{i}]\}$

och

$\Psi(x,y) = \sup \{\tilde{f}(x,y) : x,y \in [u_{i-1},u_{i}] \times [v_{i-1},v_{i}]\},$

för $(x,y) \in [u_{i-1},u_{i}] \times [v_{i-1},v_{i}]$. Följaktligen

$I(\Psi) - I(\Phi) = \sum_{1 \leq i,j \leq n} \frac{s_{i,j}-t_{i,j}}{n^{2}}(b-a)(d-c).$

Emedan $f$ är begränsad följer det att $\sum_{1 \leq i,j \leq n} \frac{s_{i,j}-t_{i,j}}{n^{2}}(b-a)(d-c) \to 0$ då $n \to \infty$. Men

$I(\Phi) \leq \sum_{i,j} \frac{\tilde{f}(u_{i},v_{j})}{n^{2}}(b-a)(d-c) \leq I(\Psi).$ qed

Om $D$ är en "trevlig" mängd, säg en rektangel, betyder det att $\tilde{f} \equiv f$ och vi har

$\iint_{D} f = \lim_{n \to \infty} \sum_{i,j} \frac{f(u_{i},v_{i})}{n^{2}} (b-a)(d-c).$

Tack för ditt svar! Jag ska försöka sätta mig in i det du har skrivit här och återkomma! Men ja, i princip har du förstått mig rätt, tror jag. Jag vill försöka införa dubbelintegraler likadant (och lika naivt) som man gör med enkelintegraler enligt Riemann.

Har läst igenom din skiss nu och jag håller med, det var precis något i den stilen jag tänkte mig!

Jag tog lite tid och läste om hur man gör det i icke-standardanalys, och jag måste säga att jag föredrar den approachen. Här är ett utdrag:

The double Riemann sum over $D$ is defined as the sum of the volume of the rectangular solids with base $\Delta x \Delta y$ and height $f(x_k, y_i)$ corresponding to partition points $(x_k, y_i)$ which belong to $D$. In symbols,

$\displaystyle \underset{D}{\sum\sum}f\left(x,y\right)\Delta y\Delta x=\underset{(x_k,y_i)\in D}{\sum\sum}f\left(x,y\right)\Delta y\Delta x$

[...]

Given the function and the region $D$, the sum is a real function of $\Delta x$ and $\Delta y$. When we replace $\Delta y$ and $\Delta x$ by positive infinitesimals $dx$ and $dy$, we obtain the infinite double Riemann sum

$\displaystyle \underset{D}{\sum\sum}f\left(x,y\right)d yd x$

[...]

The double integral is defined as the standard part of the infinite double Riemann sum.

"The standard part" är ett sätt att ta bort alla eventuellt infinitesimala (eller oändliga) delar av ett tal, så att det blir strikt reellt. Allt detta är naturligtivs under förutsättningen att $f$ är kontinuerlig på $D$.

Exakt denna formulering hittas på s. 719 i Elementary Calculus: an infinitesimal apprach av H. Jerome Keisler.

Tillägg: 1 mar 2025 16:43

Det jag gillar med den här definitionen är att man formaliserar intuitionen om "areaelement". I reell analys finns det inget areaelement som ges av produkten två tal $dydx$, det är bara en intuition. I den infinitesimala världen existerar detta faktiskt.