7 svar
49 visningar
Tomte123 är nöjd med hjälpen!
Tomte123 75
Postad: 9 jan 2019

Första ordningens differentialekvation

Tja hallå hej!

Jag försöker lösa följande diff ekvation: xy'+2y=ex2

Jag börjar med att dividera med x så att y' blir fritt och räknar sedan på mha integrerande faktorn e2lnx

tills det att ye2lnx=ex2x

Härifrån har jag försökt lösa den med partialintegration men det dyker bara upp nya integraler som blir värre och värre. Hur kan man göra? Finns det någon bättre metod? 

AlvinB Online 2506
Postad: 9 jan 2019

Jag tror du glömmer att du måste multiplicera med e2ln(x)e^{2\ln(x)} i HL också. Detta gör att du får en enklare integral.

Tomte123 75
Postad: 9 jan 2019

Aha, du har helt rätt. Fast jag ser inte riktigt hur det blir lättare, nu har jag:

ye2lnx=ex2·e2lnxx 

Jag vet inte riktigt hur man kör partialintegration om jag har tre faktorer... eller kan man förenkla uttrycket?

AlvinB Online 2506
Postad: 9 jan 2019

e2ln(x)e^{2\ln(x)} kan förenklas till x2x^2. Ser du hur?

Tomte123 75
Postad: 9 jan 2019

Nej, tyvärr

AlvinB Online 2506
Postad: 9 jan 2019 Redigerad: 9 jan 2019

En logaritmlag ger:

e2ln(x)=eln(x2)=...e^{2\ln(x)}=e^{\ln(x^2)}=...

Albiki 3456
Postad: 9 jan 2019

Hej!

Multiplicera din diff med xx för att få

    x2y'(x)+2xy(x)=xex2.x^2y'(x)+2xy(x) = xe^{x^2}.

Notera sedan att derivatan av produkten x2y(x)x^2y(x) ges av Produktregeln till (x2y(x))'=x2y'(x)+2xy(x)(x^2y(x))' = x^2y'(x) + 2xy(x) vilket är precis det som är diffens vänsterled.

    (x2y(x))'=xex2x2y(x)=C+xex2dx\displaystyle(x^2y(x))' = xe^{x^2} \iff x^2y(x) = C + \int xe^{x^2}\,dx.

Sedan ger Kedjeregeln att derivatan till funktionen ex2e^{x^2} är lika med funktionen 2xex22xe^{x^2} så att integralen lätt beräknas till

    xex2dx=0.5ex2.\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx = 0.5 e^{x^2}.

Differentialekvationens lösningar är därför

    y(x)=Cx2+12x2ex2.\displaystyle y(x) = \frac{C}{x^2} + \frac{1}{2x^2}e^{x^2}.

Tomte123 75
Postad: 10 jan 2019

Nu har jag löst den, tack så mycket! 

Svara Avbryt
Close