förståelse, derivata

Vissa saker kräver lite mer avancerad matte för att förstå de ordentligt, sån matte kommer först på högskolan. Jag försöker förklara ATT de gäller här, men varför det gäller blir som sagt lite svårt med bara kunskap från matte 3.

1. Den "vanliga" formeln för derivatan av f(x)=a^x är just a^x * ln(a). När du sätter e som bas kommer derivatan bli e^x*ln(e)=e^x. För att även inkludera k i exponenten kan du använda dig av kedjeregeln: Sätt f(x) = g(h(x)) där g(h)=a^h och h(x)=kx. Du får du f'(x)=g'(h)h'(x)=a^h*ln(a)*k 
2. Detta är ett standardgränsvärde. Vet tyvärr inte hur jag kan förklara det på matte 3 nivå, men en mer avancerad förklaring följer: För att se varför det gäller kan man uttrycka e^h i dess taylorserie 1+h+h²/2+h³/6.... Subtraherar man bort 1 och dividerar med h får man 1+h/2+h²/6+... vilket blir 1 då h går mot 0.
3. log_e definieras helt enkelt som ln, det är alltså bara 2 notationer för samma sak.

Angående nr. 2:

Det är faktiskt själva definitionen av talet $e$. (det finns naturligtvis flera sätt att definiera $e$ på, men ett av de vanliga sätten jag har sett är som talet som gör att gränsvärdet blir 1). Därur kan man lirka fram den mer "formella" definitionen för $e$ också. Notera dock att den antagligen orsakar viss hjärtklappning hos rigorösa matematiker:

$\displaystyle \frac{e^h-1}{h}\approx 1$ (då $h$ är mycket litet)

$\displaystyle \implies e=\lim_{h \to 0} (1+h)^{1/h}$

Angående nr 1:

Det kommer från det standardgränsvärdet. I tråden nedan har jag givit en ganska utförlig motivering till varför derivatan blir så:

https://www.pluggakuten.se/trad/m3c-derivatans-definition-for-funktionen-f-x/?order=all#post-4bf5eb94-1cb7-4d79-ba77-b0d400b90b8f