5 svar
100 visningar
Ellinor behöver inte mer hjälp
Ellinor Online 347
Postad: 15 jan 12:39

Förstår ej hur man kommer fram till att olikhten är falsk.

Hej! Jag ska avgöra om den här olikheten är sann eller falsk. I facit står det att den är falsk men jag förstår inte hur man kommer fram till det. Jag tänker som så att det till vänster om olikhetstecknet är en geometrisk summa så därför borde den vara lika med högerledet och därmed borde vänsterledet vara större än eller lika med högerledet och olikheten borde vara sann. Men det är den inte.

Jag har anledning att tro att summan möjligtvis ska börja från k = 1 istället för från k = 0, då samma uppgift finns på ett annat ställe och där är k = 1.
Men jag förstår oavsett vad inte hur man ska tänka för att lösa den. Jag skulle vara jättetacksam för tips! 

Gustor 406
Postad: 15 jan 13:13 Redigerad: 15 jan 13:19

Det gäller att 0xk=11-x\sum_0^\infty x^{k} = \frac{1}{1-x}. Kan du använda det på något sätt?

Ellinor Online 347
Postad: 15 jan 13:25

Blir inte det nästan samma som x^(k^2)? k går ju ändå mot oändligheten så tvåan borde väl inte spela så stor roll? 

Gustor 406
Postad: 15 jan 13:58 Redigerad: 15 jan 16:11

Nja, den ena blir 1+x+x2+x3+1+x+x^2+x^3+\dots och den andra blir 1+x+x4+x9+1+x+x^4+x^9+\dots. Vad kan du säga om varje term och om skillnaden?


Tillägg: 15 jan 2025 16:05

Visa spoiler

Eftersom påståendet är att olikheten gäller för alla xx sådana att 0x<10\leq x <1 räcker det att visa att den inte gäller för ett enda värde på xx. Fixera något x>0x>0. Låt bk=xkb_k=x^k och ak=xk2a_k=x^{k^2}.

Vi har att a0=b0a_0=b_0, a1=b1a_1=b_1 och ai<bia_i < b_i för alla i2i\geq 2. Med andra ord är ak<bk\sum a_k<\sum b_k. Men bk=11-x\sum b_k = \frac{1}{1-x}, så detta motsäger påståendet. Alltså är det falskt.

naytte Online 5442 – Moderator
Postad: 15 jan 16:00 Redigerad: 15 jan 16:05
Ellinor skrev:

Blir inte det nästan samma som x^(k^2)? k går ju ändå mot oändligheten så tvåan borde väl inte spela så stor roll? 

Detta är inte ett sätt man kan tänka på, utan det blir oftare fel än rätt. 

Alla bra talsystem som har oändligheten som objekt i talmängden brukar ha en ”modellteoretisk” egenskap som kallas för transfer. Kort och gott så beter sig oändligheter som alla andra tal (i ett bra talsystem). Så infty^2 != infty

(Och sedan är det inte heller särskilt relevant här, som Gustor påpekar)

Ellinor Online 347
Postad: 15 jan 16:43

Då förstår jag, tack så mycket!

Svara
Close