Förstår ej hur man kommer fram till att olikhten är falsk.
Hej! Jag ska avgöra om den här olikheten är sann eller falsk. I facit står det att den är falsk men jag förstår inte hur man kommer fram till det. Jag tänker som så att det till vänster om olikhetstecknet är en geometrisk summa så därför borde den vara lika med högerledet och därmed borde vänsterledet vara större än eller lika med högerledet och olikheten borde vara sann. Men det är den inte.
Jag har anledning att tro att summan möjligtvis ska börja från k = 1 istället för från k = 0, då samma uppgift finns på ett annat ställe och där är k = 1.
Men jag förstår oavsett vad inte hur man ska tänka för att lösa den. Jag skulle vara jättetacksam för tips!
Det gäller att . Kan du använda det på något sätt?
Blir inte det nästan samma som x^(k^2)? k går ju ändå mot oändligheten så tvåan borde väl inte spela så stor roll?
Nja, den ena blir och den andra blir . Vad kan du säga om varje term och om skillnaden?
Tillägg: 15 jan 2025 16:05
Visa spoiler
Eftersom påståendet är att olikheten gäller för alla sådana att räcker det att visa att den inte gäller för ett enda värde på . Fixera något . Låt och .
Vi har att , och för alla . Med andra ord är . Men , så detta motsäger påståendet. Alltså är det falskt.
Ellinor skrev:Blir inte det nästan samma som x^(k^2)? k går ju ändå mot oändligheten så tvåan borde väl inte spela så stor roll?
Detta är inte ett sätt man kan tänka på, utan det blir oftare fel än rätt.
Alla bra talsystem som har oändligheten som objekt i talmängden brukar ha en ”modellteoretisk” egenskap som kallas för transfer. Kort och gott så beter sig oändligheter som alla andra tal (i ett bra talsystem). Så infty^2 != infty
(Och sedan är det inte heller särskilt relevant här, som Gustor påpekar)
Då förstår jag, tack så mycket!