4 svar
75 visningar
Philip22 behöver inte mer hjälp
Philip22 244
Postad: 22 sep 14:13 Redigerad: 22 sep 14:16

Förstår inte sista steget i: Bevisa satsen att deriverbarhet medför kontinuitet

Jag förstår inte sista steg i detta beivs. Hur kan vi avsluta med att säga det blir 0 alltså gäller satsen?

 

Här har vi definitoinen för att punkten a är kontinuerlig limxaf(a)=f(a).\lim_{x\longrightarrow a} f(a)=f(a). Vi lägger till variabeln x=a+hx=a+h vilket gör att vi kan skriva om uttrycket med en via variabeln och multiplicerar hela uttrycket med (h/h):

limh0f(a+h)-f(a)\lim_{h \longrightarrow 0} f(a+h)-f(a)=

=infh0f(a+h)-f(a)h·h\inf_{h\longrightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h

Där ser vi att första faktorn går mot f'(a)f'(a) och andra går mot noll. Alltså får vi (genom produktlagen) att f'(a)·0=0f'(a) \cdot 0 = 0 där med har vi visat att en deriverbar funktion uppfyller villkoret (dvs den är kontinuerlig i punkten a.a.

Jag förstår inte hur att vi får noll bevisar att det gäller? Tänker mig sig att 0 är gränsvärde och att det är därför som det gäller

Gustor 150
Postad: 22 sep 14:26

Antag att f är deriverbar i en punkt x = a. Enligt definitionen betyder detta att limxa f(x) - f(a)x - a existerar och är lika med något ändligt tal L. Notera att limxa x - a = 0. Enligt produktregeln för gränsvärden gäller då att

limxa f(x) - f(a)= limxa x - a ·limxa f(x) - f(a)x - a = 0·L = 0 .

Alltså är limxa f(x) - f(a) = 0, vilket är ekvivalent med att limxa f(x) = f(a).

naytte 4611 – Moderator
Postad: 22 sep 16:55 Redigerad: 22 sep 16:56

Som ett tillägg kan man naturligtvis visa detta med derivatans  hh-definition också:

Antag att följande gränsvärde existerar i en punkt xx:

limh0fx+h-fxh   1\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\;\;\;\left(1\right)

Vi ser att:

limh0fx+h-fxh·h=limh0fx+h-fx\displaystyle \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\cdot h=\lim_{h \to 0} \left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)

h0h \to 0 ser vi att:

limh0fx+h-fx=0limh0fx+h=fx\displaystyle \lim_{h \to 0} \left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)=0\implies \lim_{h \to 0} f\left(x+h\right)=f\left(x\right)

\blacksquare

Philip22 244
Postad: 23 sep 17:27
Gustor skrev:

Antag att f är deriverbar i en punkt x = a. Enligt definitionen betyder detta att limxa f(x) - f(a)x - a existerar och är lika med något ändligt tal L. Notera att limxa x - a = 0. Enligt produktregeln för gränsvärden gäller då att

limxa f(x) - f(a)= limxa x - a ·limxa f(x) - f(a)x - a = 0·L = 0 .

Alltså är limxa f(x) - f(a) = 0, vilket är ekvivalent med att limxa f(x) = f(a).

Stort tack!

Okej, efter att ha läst igenom det några gånger tror jag nu att jag förstår.

Förneklat tänker jag mig att vi visar att A - B = 0 vilket medför att A=B och då gäller definitionen för kontinuerligt

Gustor 150
Postad: 23 sep 17:41

Ja, precis!

Svara
Close