Tolkning och tillämpning av Fouriers lag med exempel ur bok

Hej!

Jag håller på att studera Fouriers lag som i min bok presenteras som

$\displaystyle \frac{\mathbf{q}}{A}=-k\nabla T$

där $\mathbf{q}$ är värmeflödet per tidsenhet, $A$ är arean normal mot värmeflödet (saxat ur min bok), och $k$ är någon konstant. Men vad är det för "area" vi talar om här? Det ser ju ut som om värmeflödet ska vara en punktvis definierad storhet eftersom $\nabla T$ är det. Är tanken att man har uniformt värmeflöde över en area som är helt vinkelrätt mot denna area? I så fall verkar ju ekvationen ytterst begränsad i sina tillämpningar. Borde det inte finnas ett mer generellt sätt att uttrycka den på med ytintegraler?

Trots att värmeflödet per tidsenhet verkar vara en punktvis definierad storhet finns exempel ur min bok (t.ex. nedan) där man behandlar det som om det vore någon slags konstant storhet över en hel kropp:

Varför fick man bryta ut $q_r$ ur integralen ovan, som om det inte berodde på $r$ (vilket det uppenbarligen gör eftersom den (tydligen) är proportionell mot $dT/dr$, och hur ska man tolka att flödet tydligen inte beror på $r$? Varför skulle flödet vara lika stort vid alla radier?