Fråga om heuristik bakom andraderivatatestet

Blir det inte samma fundering med förstaderivatan? Positiv derivata betyder att kurvan går uppåt när man går åt höger.

Höger är bara för att x ökar åt det hållet.

Jag brukar rita grafer till $f(x)=x^2$ och $f(x)=-x^2$ och sedan derivera en gång och sedan till andra derivatan. Då blir det klart för eleverna och det är en enkel minnesregel som man kan använda för att ta fram villkoren på ett prov i fall om man har glömt dem.

naytte skrev:

Finns det någonstans i definitionen av derivatan inbakat att man ska "röra sig åt höger" när man tolkar den eller är detta helt enkelt en minneskrok man får som egentligen inte mejkar sense?

Man rör sig åt båda hållen, om det är något annat så talar man om höger- och vänsterderivata.

Laguna skrev:

Blir det inte samma fundering med förstaderivatan? Positiv derivata betyder att kurvan går uppåt när man går åt höger.

Höger är bara för att x ökar åt det hållet.

Jo men förstaderivatan har ju en mer naturlig tolkning som lutningen till den bästa linjära approximationen, vilket är vad jag har gått på i mitt huvud.

Vi kan ta $f(x)=x^2$ som konkret exempel. Minimum återfinns i $x=0$ och vi har även $d^2 f\left(0\right)=2>0$. Som heuristisk motivering till varför detta är ett minimum säger man att "derivatan ökar om man rör sig till höger om $x=0$", alltså att "derivatans förändringshastighet är positiv". Men man hade lika gärna kunna ha rört sig åt vänster vilket borde ge "negativ förändringshastighet" även fast f'' >0 ändå gäller. Så den heuristiken känns extremt tveksam.

Jag skulle snarare föreslå att den "rätta" heuristiken borde vara att

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f^\prime\left(x+h\right)-f^\prime\left(x\right)}{h}>0 \Longrightarrow\left\{\begin{array}{lc}f^\prime\left(x+\delta\right)>f^\prime \left(x\right) &\delta>0\\f^\prime\left(x+\delta\right)< f^\prime \left(x\right)&\delta<0\end{array}\right.$

för mycket små $\delta$. Den andra heuristiken känns "fel".

Vet inte exakt hur men gissar att det är viktigt att det som vi kallar ’åt höger’ är den positiva riktningen för x-axeln.

Jag ursäktar för den här förvirrade tråden. Jag hade inte sovit ordentligt och kunde inte tänka. Heuristiken är förstås rimlig eftersom

$\displaystyle f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\approx f^\prime\left(x\right)\Delta x$

Så om $f^\prime \left(x\right)>0$ får vi för positivt $\Delta x$ en positiv förändring, och för negativa $\Delta x$ en negativ förändring, precis som förväntat... Samma sak gäller analogt för andraderivatan.