Frågor om affina rum i mekanik

Moretti har bakgrund i teoretisk fysik men är verksam som matematisk fysiker vilket på detta område effektivt är teoretisk matematik. Som matematiker blir vissa aspekter av fysikens lagar enklare om modelleras i affina rum eftersom saker som homogenitet, isotropi, symmetri, osv blir hårdkodade i den matematiska strukturen istället för att de måste ligga som en lista av fysikaliska principer som åberopas till synes godtyckligt när behovet uppstår. 

Olika professioner har olika normer och behov. Den experimentella fysikern kan som svar på frågan "Hur vet du detta med säkerhet?" kan helt enkelt svara "Det gör jag inte men det verkar fungera" medan matematikerns normer inte tillåter dem att svara på det viset och därmed måste vara mycket nogrannare men genom att lämpliga definitioner så kan de kan svara i det matematiska språket "Eftersom rummet är affint".

Huruvida det extra arbetet som krävs för att modellera fysikens lagar med denna (för de flesta) högre matematik är värt det eller ej beror på ens läggning och ambitioner. Jag nöjde mig med att läsa Apazidis, Landau och Goldstein som grund för mekanik och räcker för mig gällande de historiska problemen jag varit intresserad av och för att läsa vidare i annat. Enda området där jag fått antydan att affina rum skulle förlösa en del av mina problem är i speciell och generell relativitetsteori där alla skenbara paradoxer kommer av att man har ett origo som kan vara svårt att hålla reda på.

Jag har aldrig läst affin-rum mekanik eller geometri utan har bara flera gånger börjat, läst ett femtal timmar, suckat över att målet där det blir relevant för mig är 100h i framtiden, och lagt ner.

Hmm okej, tack för svar!

Jag tänker läsa vidare och se vart det leder. Jag tycker inte att själva matematiken verkar så mycket krångligare än det man är van vid, men jag förstod inte varför man behövde det.

Vi vill ju helst att våra teorier ska vara oberoende av det koordinatsystem vi väljer, eller ännu hellre kunna formuleras helt utan koordinatsystem. För att det ska vara möjligt måste de objekt vi använder ha en koordinatoberoende geometrisk innebörd.

Jag har för mig att vi i en tidigare tråd diskuterade vad som skiljer en geometrisk (euklidisk) vektor från en punkt i rummet. Just den distinktionen är central inom affin geometri; punkter och vektorer är olika typer av objekt. Man kan subtrahera två punkter och få en vektor, och man kan addera en vektor till en punkt och få en ny punkt, men det finns ingen naturlig operation som adderar två punkter.

När man börjar läsa matematik eller fysik gör man ofta denna åtskillnad implicit (utan att tala om det för studenterna). Under det första årets grundkurs i flervariabelanalys identifieras ofta punkter med deras positionsvektorer (som alltså inte ens är vektorer!) efter att man valt ett origo, vilket fungerar utmärkt i praktiken (för det mesta). I flervariabelanalysen är det främst avsnitten om tangentplan, transformationer och vektorformalism som kanske hade vunnit på en mer teoretisk framställning. Men det är egentligen först när man kommer till mer geometriska formuleringar inom differentialgeometri eller modern mekanik blir det viktigt att hålla isär begreppen. Affin geoemtri är då bara "första steget" på den vägen.

I modern matematik och fysik modelleras rummet som en mångfald $M$. Till varje punkt $p$ på mångfalden associeras ett tangentrum $T_pM$ och dess dualrum $T_p^*M$. Ur dessa bygger man sedan tensorer, differentialformer och andra geometriska objekt, utan hänvisning till något särskilt koordinatsystem.

Jag är väl med på man vill ha något sätt att tala om punkter snarare än ortsvektorer. Men exempelvis tar författaren upp som motivering:

It is not uncommon to read in books that the physical space is $\mathbb{R}^3$. This is incorrect both mathematically and physically. The reason, for starters, is that the structure of $\mathbb{R}$ is not invariant under displacements (and in general it is not invariant under other physically important transformations called isometries, which we will see later), in contrast to the nature of Euclidean geometry’s results.

Vad menar han med att strukturen inte är invariant under displacements? Skulle du kunna ge ett exempel på en sådan displacement där vi helst vill ha invarians? 

naytte skrev:

Jag är väl med på man vill ha något sätt att tala om punkter snarare än ortsvektorer. Men exempelvis tar författaren upp som motivering:

It is not uncommon to read in books that the physical space is $\mathbb{R}^3$. This isincorrect both mathematically and physically. The reason, for starters, is that the structure of $\mathbb{R}$ is not invariant under displacements (and in general it is not invariant under other physically important transformations called isometries, which we will see later), in contrast to the nature of Euclidean geometry’s results.

Vad menar han med att strukturen inte är invariant under displacements? Skulle du kunna ge ett exempel på en sådan displacement där vi helst vill ha invarians? 

I korthet så är egenskapen "att vara origo" inte en egenskap bibehålls under förskjutning. Så länge man håller på med linjära avbildningar så går 0 till 0 men om du har additionoperationer så kan 0 avbildas till något annat än 0. Är inte mer komplicerat än så.

Detta är inte sig något katastrofalt problem i individuella tillämpningar eftersom man bara lägger till korrektionstermer som hanterar förskjutningar men om man börjat tröttna på detta och vill ha ett ramverk så vänder man sig till euklidiska rummen och affina rum.

Låt oss ta en dugligt enkel situation. Låt oss ta en fluid som expanderar homogent, likt ett förenklat expanderande universum. Låt oss beskriva expansionen från en tidpunkt till en annan relativt origo i ett koordinatsystem S med en linjär avbildning

T(x) = 2x

dvs dubblering av alla avstånd. 

Om detta expanderande universum betraktades från en plats som har läge y i S och  koodinatsystemet centrerad på denna punkt är S' så är det fysikaliskt rimligt att anta att expansionen betraktad från denna punkt hade haft sanma form

T'(x') = 2x'

Om detta var sant så skulle vi kunna förskjuta vårt koordinatsysten till y, expanderar där, och sedan hoppa tillbaka till startpunkten: -y, expandera, och sen +y enligt

T'(x-y) + y

Detta fungerar dock inte eftersom expansionen förskjuter det första systemets origo, det lämnas inte invariant, och vår +y räcker inte för att komma tillbaka

T'(x-y) + y = 2x - 2y + y = 2x - y (inte 2x)

En lösning är att helt enkelt vara försiktig med hur förskjutningsavbildningar transformerar avbildningar i vektorrum eller så bakar man in dessa regler direkt i rummets definitioner så att man kan formulera sina fysikaliska lagar på en mer symmetrisk form.

I linalg kan man använda samma "tillbaka" koordinattransformation B oavsett vad den aktuella transformen T var enligt 

T =BT'F

men med förskjutningar är detta alltså inte fallet vilket gör att saker transformeras fult under förskjutning i vektorrum