Gå till botten med vätsketryck, en gång för alla
God kväll, Pluggakuten!
Detta är en fråga som jag stundvis förbryllats över sedan tryck introducerades som en fysikalsk storhet i fysiken. I början introducerades tryck som kraft över area, vilket är okej. Men sedan började man tala om tryck i vätskor, och där slutade jag förstå vad tryck är. Dels är tryck något som saknar riktning trots att kraften man räknar på entydigt har en riktning, och därtill finns det väl ingen "area" i en vätska? Dessutom är tryck på något sätt lika stort i en vätska i alla riktningar? Hur funkar det?
Jag visualiserade alltid tryck som infinitesimalt tunna "vattenpelare" som låg på varandra, vilket gjorde att tyngden orsakade kraften. Men tyngdkraften på vattenmolekylerna verkar ju rakt ned, inte åt sidan eller uppåt. Trots det är trycket lika stort uppåt som nedåt, givet att höjden är samma. Hur kommer det sig?
Att krafterna tar ut varandra i alla riktningar är ganska lätt att inse eftersom vätskan är i vila. Om kraften (trycket) nedåt var större än kraften uppåt skulle vätskan börja accelerera nedåt. Jag tänker att man kan likna detta vid ett slags normalkraft, på samma sätt som du får en normalkraft på ett föremål som t.ex. läggs på ett bord.
Men att från detta dra slutsatsen att kraften är lika stor i alla riktningar från en viss punkt i vätskan är lite svårare. Jag killgissar att detta har något att göra med hur energin fördelas i en partikel. Själva trycket utgörs ju av molekyler som kolliderar med närliggande molekyler så att de påverkar dem med en kraft. Partiklarna rör sig slumpmässigt åt alla håll, så det verkar rimligt att de utövar lika stor kraft i samtliga riktningar?
Jag har också varit osäker på detta, och är det nog fortfarande. Man kan studera en helt tom låda som man sänker ner i vattnet. På varje sida utövar vattnet ett tryck som är det gamla enkla tryckbegreppet.
Jag vill återuppliva denna tråd lite, för jag har tänkt väldigt mycket på detta nu. Föreställ er att vi försänker en tub, sådan att den är böjd med sin nedre yta åt vilket håll vi vill, ned en sträcka under vattenytan. I den nedre ytan sitter en kolv med area . Om vi trycker ut kolven en infinitesimal sträcka i riktningen i vattnet, undantränger vi en liten volym vatten . Arbetet som vi har utfört är då:
Vi har att arbetet vi utfört då ges av:
Den potentiella energin hos vattenvolymen förändras genom:
Energins bevarande ger då att:
I slutändan hamnar vi då här:
Här kommer jag inte längre. Jag skulle vilja integrera här men det saknas ju differential i vänsterledet. Vad händer om man integrerar en variabel utan differential? Blir det bara variabeln kvar då eller vad händer?
Jag tänker att rörelseenergin som man får inte spelar någon roll eftersom den får en differential av ordning 3 i sig, och om man tillämpar integraloperatorn en gång på något där differentialen är av ordning 3 får man ett resultat med en differential av ordning 2; en infinitesimal kan lika gärna vara noll jämfört med något reellt.
Jag skulle vilja göra ännu ett försök, men denna gång vara lite mer rigorös i mitt resonemang. Jag tror att detta borde vara helt korrekt. Någon fysikentusiast får gärna bekräfta att mitt resonemang stämmer eller säga till om det är tokigt. Jag vill utgå från samma setup som ovan med kolven och konstatera följande:
Här har vi uttrycken för (1) arbetet som utförs genom att kolven undantränger vätska, (2) förändringen i potentiell energi hos den infinitesimala volym undanträngda vätskan och (3) förändringen i kinetisk energi hos den undanträngda volymen. Energins bevarande ger nu att . Med andra ord har vi:
Eftersom vi har att enhetsvektorn i riktning lambda har storlek och är parallell med denna, har vi att . Således förenklas ekvationen ovan till:
Efter förenkling erhålls följande ekvation:
Nu tillämpas integraloperatorn på båda sidor av ekvationen och vi erhåller:
Termen är försumbar här eftersom den är infinitesimal medan alla andra termer är reella. Randvillkoret då ger att . Detta ger slutligen uttrycket:
Tydligen spelade det alltså inte någon roll i vilken riktning man undantränger vätskan, och således måste vätsketrycket i sig vara oberoende av riktning (eftersom uttrycket blir likadant oavsett i vilken riktning kolven trycker mot vätskan).
Jag ber en liten minibön att detta är korrekt nu. Om så är fallet har jag äntligen lyckats besvara en fråga som har stört mig i flera år.
Det som är specifikt för vätskor och gaser - fluider - är att det inte kan existera några skjuvspänningar då fluiden är i vila. Tror till och med att det är definitionen av fluid.
Det betyder att spänningstensorn vid vila måste vara en konstant gånger enhetstensorn.
Dvs , där p är trycket.
Vid jämvikt uppfyller vätskan Cauchys ekvationer på formen
0 = . Där fi är volymskraften.
Med nablaoperatorn kan detta skrivas som en vektorekvation.
Om volymskraften kommer av gravitationen så har vi att
.
Således har vi att
, vilket implicerar att
Eller om vi så vill .
Tillägg: 30 jan 2025 02:31
Jag tycker din härledning påminner lite om Bernoullis ekvation. Vilken brukar härledas genom liknande energibetraktelser.
Tack för ditt utförliga svar! Jag fruktar dock att det är lite för tekniskt för mig i nuläget; jag har aldrig sett en tensor tidigare.
Skulle du säga att mitt energiresonamng är korrekt? Det som fortfarande stör mig i det är att jag i (1) skriver men egentligen borde det väl stå ? Men samtidigt, om man skriver där så hamnar man i slutet här:
Men då kan man inte integrera eftersom det saknas differential i VL. Men samtidigt är det orimligt att är en reell storhet alls eftersom det står en infinitesimal i HL.
Hänger inte riktigt med i din härledning. Men kolla härledningen av Bernoullis ekvation där man använder liknande energiresonemang. Om man tänker sig att strömningshastigheten går mot noll så får man väl det önskade resultatet. Inga tensorer krävs.
Men härledningen mha Cauchy är nog mera generell om man bara betraktar fluid i vila.
Ska kolla in den!
Men vad tycker du är svårförståeligt i min härledning? Det kan vara så att jag har uttryckt mig otydligt.
För att härleda den formeln du verkar vilja ha fast enbart med kraftresonemang fann jag i min kursbok följande:
Visa spoiler
Tack så mycket för textutdraget, MrP!
Jag ska försöka sätta mig in i kraftresonemanget. Anledningen till att jag försökte räkna med energibevarande och arbete är att jag tycker kraftrsonemangen är lite förvirrande, men det kanske är dags att försöka med det igen!