4 svar
129 visningar
dajamanté är nöjd med hjälpen
dajamanté 5139
Postad: 6 mar 2019 15:54 Redigerad: 6 mar 2019 19:03

Bevisa formel för area

Hej!

Jag har gjort detta uppgift med gammelfarmor tekniker (matte 4 alltså) men jag må inte parametrisera?

Orkar någon visa hur man gör?

 

 

Min lösning som ingen är intresserad av. Men typ:

Rubriken ändrad så att den beskriver trådens innehåll. /Teraeagle, moderator

Albiki 5096
Postad: 6 mar 2019 16:54

Hej!

Prova att integrera vektorfältet F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(-y,x)F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) = (-y, x) längs den slutna kurvan i din bild.

Greens formel kommer att ge dig 2*kvartsellipsens area uttryckt som en kurvintegral som du beräknar genom parameteriseringar av de tre kurvstyckena som utgör den slutna kurvan.

dajamanté 5139
Postad: 6 mar 2019 17:31
Albiki skrev:

Hej!

Prova att integrera vektorfältet F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(-y,x)F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) = (-y, x) längs den slutna kurvan i din bild.

Greens formel kommer att ge dig 2*kvartsellipsens area uttryckt som en kurvintegral som du beräknar genom parameteriseringar av de tre kurvstyckena som utgör den slutna kurvan.

 

Sorry Albiki, för mycket jag är obekant med!

 

 

Har du något enklare i stil :

acos(t)bsin(t)A = (typ!) acos(t)bsin(t)

Albiki 5096
Postad: 6 mar 2019 18:30 Redigerad: 6 mar 2019 18:37

Nej, det räcker inte att hitta på en parameterisering av ellipsen och så (tadaa!) trillar arean ut.

Vill man använda parameterisering på något sätt för att beräkna arean så kan man göra som jag föreslår. Om du ännu inte lärt dig Greens formel så har du något att se fram emot! :)

Greens formel säger att kurvintegralen

    DP(x,y)dx+Q(x,y)dy\oint_{\partial D} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy

längs kurvan D\partial D (som är exakt den som du ritat i din bild) är lika med dubbelintegralen

    DQx-Pydxdy\iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy

där DD betecknar området (kvartsellipsen) som omges av kurvan D\partial D. Med vektorfältet (P,Q)(x,y)=(-y,x)(P,Q)(x,y) = (-y,x) blir Qx-Py=1-(-1)=2\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2 så dubbelintegralen är lika med

    DQx-Pydxdy=D2dxdy=2Ddxdy=2·Area(D).\iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy = \iint_{D} 2\,dxdy = 2 \iint_{D} \,dxdy = 2\cdot \text{Area}(D).

Det är Area(D)\text{Area}(D) som är en 1/41/4 av ellipsens area och du vill visa att dubbelintegralen

    2·Area(D)=2·πab4=πab22\cdot\text{Area}(D) = 2\cdot \frac{\pi ab}{4} = \frac{\pi ab}{2}.

Om man kan visa att kurvintegralen är lika med πab2\frac{\pi ab}{2} så följer det alltså från Greens formel att ellipsens area är lika med πab\pi ab.

Kurvintegralen kommer att beräknas med hjälp av parameteriseringar, som du önskade.

Kurvan D\partial D består av tre delar:

  • Den räta linjen (LxL_x) som går längs x-axeln från x=0x = 0 till x=bx=b.
  • Kvartsellipsen (EE) som går från punkten (b,0)(b,0) till punkten (0,a)(0,a).
  • Den räta linjen (LyL_y) som går längs y-axeln från y=ay=a till y=0y=0.

Längs linjen LxL_x är y=0y=0 och dy=0dy=0 vilket gör att  kurvintegralen längs LxL_x är lika med noll.

    LxP(x,y)dx+Q(x,y)dy=x=0bP(x,0)dx=x=0b(-0)dx=0.\oint_{L_x} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=\int_{x=0}^{b}P(x,0)\,dx=\int_{x=0}^{b}(-0)\,dx=0.

Längs linjen LyL_y är x=0x=0 och dx=0dx=0 vilket gör att kurvintegralen längs LyL_y är lika med noll.

    LyP(x,y)dx+Q(x,y)dy=y=a0Q(0,y)dy=y=a0(0)dy=0\oint_{L_y}P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=\int_{y=a}^{0}Q(0,y)\,dy=\int_{y=a}^{0}(0)\,dy = 0.

Längs kvartsellipsen EE använder jag din parameterisering

    x(t)=acostx(t) = a\cos t och y(t)=bsinty(t) = b\sin t där parametern går från t=0t=0 till t=π/2t=\pi/2.

och skriver

    dy=dydtdt=bcostdtdy = \frac{dy}{dt}\,dt = b\cos t\,dt och dx=dxdtdt=-asintdtdx = \frac{dx}{dt}\,dt = -a\sin t\,dt

så att kurvintegralen längs EE kan skrivas såhär:

    t=0π/2P(x(t),y(t))·(-asint)dt+Q(x(t),y(t))·(bcost)dt=t=0π/2(-bsint)·(-asint)dt+(acost)·(bcost)dt=t=0π/2ab(sin2t+cos2t)dt=ab·t=0π/2dt=πab2.\int_{t=0}^{\pi/2}P(x(t),y(t))\cdot(-a\sin t)\,dt+Q(x(t),y(t))\cdot(b\cos t)\,dt=\int_{t=0}^{\pi/2}(-b\sin t)\cdot(-a\sin t)\,dt+(a\cos t)\cdot(b\cos t)\,dt=\int_{t=0}^{\pi/2}ab(\sin^2 t+\cos^2 t)\,dt=ab\cdot\int_{t=0}^{\pi/2}\,dt=\frac{\pi ab}{2}.

Kurvintegralen längs D\partial D är lika med summan 0+0+πab20+0+\frac{\pi ab}{2} som alltså verkligen är lika med πab2\frac{\pi ab}{2} som är precis vad som behövdes för att visa att arean för hela ellipsen är πab\pi ab.

Tadaa! (Klistra in en valfri bild på en trumpetande katt!)

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 08:30

 

Tack Albiki!

Det är något att se fram emot. Nu har jag sett en tjärna på tråden, jag återkommer nog om några veckor där jag har börjat flervariabel.

Svara Avbryt
Close