Går det att försvaga hypotesen i analysens fundamentalsats?

Villkoren som måste gälla för att en sats ska gälla brukar i logikspråk kallas premisser, och i informellt matematikspråk för antaganden (om objekten). Hypoteser är något annat. 

Du vill alltså göra antagandena svagare så att de täcker en större klass av objekt. 

Det låter som att dina modifikationer förmodligen går att realisera på ett sätt som gör att slutsatsen stämmer, men var uppmärksam på att en sådan modifikation både gör satsen svårare att formulera och mer involverad att bevisa, samt att du formodligen måste introducera kriterier på randen som blir involverade att beskriva.

Vad som gör en sats bra är inte bara att den förutsäger så mycket som möjligt från så lite som möjligt utan att den uppnår någon slags balans mellan komplexitet hos premisser, slutsats, och beviset.

En fin aktivitet är att läsa igenom standardbeviset för satsen och vara uppmärksam på var varje egenskap används. Att helt överge en premiss utan att introducera en annan är sällan möjligt eftersom den är där av ett skäl.

Om $f: G \to \mathbb{R}$, där $G \supset [a,b]$ är öppen, är lebesgueintegrerbar, så är funktionen  $t \mapsto \displaystyle \int_a^t {f(x)}\,dx$ absolutkontinuerlig på $G$.

Om man nu definierar $\displaystyle {F(t)} := \int_a^t {f(x)}\,dx$, $t \in G$, så kommer $F$ vara deriverbar nästan överallt i $G$ och $F^\prime(t) = f(t)$ kommer att gälla nästan överallt i $G$.

Om $f$ är riemannintegrerbar på $G$, så är $f$ lebesgueintegrerbar och dessutom är den kontinuerlig nästan överallt på $G$.

I analysens huvudsats som du formulerat den, så är det alltså rimligt att förutsätta att $F(t)$ är kontinuerlig eftersom $t \mapsto \int_a^t {f(x)}\,dx$ är också det. Det går nog att försvaga antaganden i analysens huvudsats. Man behöver dock se till att $F$ kan modifieras på mängden av måttet 0 så att den blir absolutkontinuerlig.

Ett sent tillägg:

Följande variant på satsen är falsk! Jag har bara lagt till "nästan överallt" i kravet F'=f

Sats. Låt $f$ vara en reellvärd funktion på $[a,b]$ och låt $F$ vara en kontinuerlig funktion på $[a,b]$ sådan att $F^\prime = f$ nästan överallt på $(a,b)$. Om $f$ är Riemannintegrerbar på $[a,b]$ gäller

$\displaystyle F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$

Som ett motexempel kan man tänka sig $F=$djävulstrappan (Cantors funktion) som är kontinuerlig på [0,1] och det gäller att $F^\prime (x) = 0$ nästan överallt i (0,1), men det är inte sant att

$\displaystyle \underbrace{F(1)-F(0)}_{=1} = \int_{0}^{1}\underbrace{f(x)}_{=0}dx$

Tack för svar från er båda!

Vad gäller ordvalet "hypotes" så direktöversatte jag det från engelskans hypothesis som används på detta sätt i matematiska sammanhang, men det kanske inte är korrekt på svenska.

@LuMa07, är ditt sista exempel ett motexempel mot min föreslagna sats? Jag kan inte avgöra om "$F^\prime = f$ nästan överallt på $(a,b)$" gäller diskontinuiteter på $[a,b]$ där varken $F$ eller $f$ är definierade, eller om det enbart gäller de fall där $F$ och $f$ är definierade men $F^\prime \ne f$ vid en uppräknelig mängd punkter.

Kan du precisera lite mer exakt vilken formulering det är du har i åtanke, @naytte?

En allmän kommentar: För att antagandet

"$F^\prime=f$ på $(a,b)$"

över huvud taget ska ge mening, så måste ju $F$ vara deriverbar på $(a,b)$, vilket även implicerar att $F$ är kontinuerlig på $(a,b)$.