Går inte att förenkla komplext tal i polär form till rektangulär form

Jag skulle räkna ut samtliga rätter till polynomen $P\left(Z\right)=Z^5+4Z^3-2Z^2-8$ så att $P\left(Z\right)=0$ genom att veta att en faktor i polynomen är $(Z^2+4)$. Jag lyckades faktorisera hela polynomen med hjälp av polynomdivision och fick att $P\left(Z\right)=(Z^3-2)\times (Z^2+4)$. Därefter räknade jag ut att den högra faktorn har rötterna $\pm 2i$ ($Z_1=2i, Z_2=-2i$) och fick till den högra ekvationen $Z^3=2$ där jag kunde få fram att den reella lösningen $Z_3=\sqrt[3]{2}$ och kunde räkna ut att de andra rötterna ligger på en cirkel (med en radie på $\left|Z_3\right|$) i formen av en triangel (för att ekvationen har 3 som exponent) och att vinkeln mellan lösningarnas vektorer är $120°$ i det komplexa talplanet. Då fick jag att $Z_4=\sqrt[3]{2}\times (\cos 120°+i\sin 120°)$ och $Z_5=\sqrt[3]{2}\times (\cos 240°+i\sin 240°)$. Men när jag skulle använda de exakta värdena för cos och sin och multiplicera in $\sqrt[3]{2}$ så fick jag $Z_4=-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2^{2/3}}i$ och $Z_5=-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2^{2/3}}i$ vilket är fel när man sätter in det i ursprungsekvationen. Varför är det så? Jag antar att det har något att göra med att det finns flera lösningar till till exempel sin 120 men jag har ingen aning.

Tack på förhand.