37 svar
174 visningar
Fotbollskillen12 481
Postad: 27 dec 2020

Gator

På Manhattan i New York är gatorna i kvarteren parallella. Anta att du ska gå från korsningen 5th Avenue och 35th Street till Chrysler building.

På hur många sätt kan du då gå den kortaste vägen?

 

Uppgiftsbild   Min första tanke är att den kortaste vägen är att ta 7 gator uppåt och 3 åt höger fast vet inte riktigt hur det ska användas med formeln n!/(n-r)!*r! för det ska vara att jag ska välja ut r element av n fast vet inte vad detta n är är det val och ifall det är fall vad ska då r stå för? 


 

Dr. G 5995
Postad: 27 dec 2020

Om du går 7 steg uppåt och 3 steg åt höger så är du framme. 

På 10 steg så ska 3 vara åt höger (och 10 - 3 uppåt). 3 av 10 kan väljas på ... sätt.

Fotbollskillen12 481
Postad: 27 dec 2020

Fast jag hänger inte riktigt med hur det förklaras med formeln n!/r!*(n-r)! så n!/(n-r)! hade gett permutationerna av alla vägar och sedan divideras det med r! för att det är hur många sätt 3 element kan skrivas på för att få reda på kombinationerna och förstår fortfarande hur man kan välja 3 av 10 för att få reda kombinationerna

Fotbollskillen12 481
Postad: 27 dec 2020

Edit: Förstår att lösningen är 10!/3!(10-3)! förstår bara inte varför pga ovanstående anledningar

Är du med på att kortaste vägen är att gå 7 kvarter uppåt och 3 åt höger? Alla andra vägar är fler steg.

Fotbollskillen12 481
Postad: 27 dec 2020

Ja

Du behöver alltså välja 10 ggr om du skall gå åt höger eller uppåt, och du behöver gå åt höger exakt 3 ggr och uppåt 7 ggr. Håller du med om det?

Fotbollskillen12 481
Postad: 28 dec 2020

Ja

Är du med på att antalet sätt att göra denna promenad motsvarar att välja ut vilka tre gånger man skall gå åt höger (av de tio möjliga)?

Fotbollskillen12 481
Postad: 28 dec 2020

Att det finns 10 val att göra och man ska välja när man under dessa 10 val ska gå åt höger totalt 3 gånger?

Smaragdalena 47441 – Moderator
Postad: 28 dec 2020 Redigerad: 28 dec 2020

Ja. På hur många olika sätt kan du välja ut 3 av 10? Spelar ordningen någon roll i det här fallet, d v s spelar det någon roll om du väljer att gå åt höger i korsning 2,5 och 6 eller i korsning 5, 6 och 2, exempelvis?

Fotbollskillen12 481
Postad: 28 dec 2020

Nej

Håller med, ordningen spelar ingen roll. På hur många olika sätt kan man gå från start till mål, kortaste vägen?

Fotbollskillen12 481
Postad: 28 dec 2020

10!/3!(10-3)!=120

Fast förstår inte riktigt vad hade permutationerna varit att vid punkterna man tar höger varierar så att man kan ta den första högern vid gatan 5 men den högern kan också tas vid gatan 6? 

Tänk dig att du bestämmer dig för vilka gathörn du skall svänga i redan innan du går hemifrån. Om du inte svänger åt höger förrän du kommer till gathörn nummer 6 så har du ju redan sumpat många möjliga vägar.

Fotbollskillen12 481
Postad: 28 dec 2020

Fast förstår inte vad som är permutationerna med gatan?

Du kan också göra om problemet till en kombination av placering av tecken.
Låt vägval till höger motsvara H och vägval upp motsvara U.
Då har du 3 st H och 7 st U som ska placeras i rad, dvs totalt 10 tecken.

På hur många sätt kan 3 H placeras i 10 teckenhållare? (ordningsföljden har ingen betydelse)

Jo, på 10 över 3 sätt. Dvs C(10,3) 103=3!10!·(10-3)!=120

Fotbollskillen12 481
Postad: 28 dec 2020

Har tänkt så också fast förstår inte vad permutationerna är när det kommer till gatorna 

Varför vill du räkna med permutationer?  Vi försöker förklara för dig att det är kombinationer du skall använda, eftersom ordningen inte spelar någon roll. Du var ju med på detta för cirka 10 timmar sedan.

Fotbollskillen12 481
Postad: 29 dec 2020

Alltså förstår varför man ska räkna kombinationera och hur det hela fungerar fast vill förstå vad är det som sker om man endast räknar permutationeran för tycks inte förstå det

Om du räknar permutationerna av 3 bland 10 blir det som att dina högersvängar numreras:

Vägen jag har ritat ut är "3 höger följt av 7 uppåt". Om vi tar hänsyn till ordningen av dessa tre höger räknar vi in alla dessa promenader:

H1-H2-H3, 7 upp

H1-H3-H2, 7 upp

H2-H1-H3, 7 upp

H2-H3-H1, 7 upp

H3-H1-H2, 7 upp

H3-H2-H1, 7 upp

Men att gå genom dessa korsningar i någon annan ordning än H1-H2-H3 är ju inte aktuellt. Så, om du räknar permutationerna 10!/(10-3)! kommer du få in 5 omöjliga promenader för varje möjlig promenad, eftersom "högerkorsningarna" kommer sättas i alla möjliga ordningar. De möjliga promenaderna är alltså en sjättedel, dvs 1/3!, av permutationerna 10!/(10-3)!.

Fotbollskillen12 481
Postad: 29 dec 2020

Fast jag försöker nu föreställa mig ett träd diagram ifall vi ska välja tre element av 10 så är det väl inget som säger att det måste vara alla H1,H2 och H3 som kombineras utan även U1,U2,U3,U4...U7 hur kommer då multiplikation av detta dvs 10*9Ä8 leda till alla permutationer av höger? 

Om du skulle vilja beräkna alla sätt att ordna elementen H1, H2, H3, U1, U2, ..., U7 så räknar du permutationer av 10 objekt, vilket är 10!.

Fotbollskillen12 481
Postad: 29 dec 2020

Fast om jag ska välja 3 element av 10 så har jag ju först 10 val att välja mellan sedan 9 och sedan 8 då blir det 10*9*8 och det första valet kan ju vara H1,H2,H3,U1,U2.....U7

Fotbollskillen12 481
Postad: 29 dec 2020

Jag försöker tänka uppgiften som en styrelse ifall du har 8 personer och du ska välja ut tre av dessa så kan det första valet vara vilken som helst av dessa 8 är det inte samma sak här? Ifall du har 10 val möjligheter och du ska välja ut en av dessa som första val så kan det vara H1,H2,H3, U1...U7

Om vi tänker så här då:

Vi har 10 saker att lägga ut på en rad, säg bollar i olika färger. Vi verkar överens om att antalet färgsekvenser vi då kan bilda är 10!. (10 olika kan vara första bollen, 9 kan vara nästa, osv).

Säg nu att Bosse är färgblind, och tycker att 3 av bollarna är mörka och 7 är ljusa. Hur många unika sekvenser ser han? Vi kan räkna ut hur många "verkliga" färgsekvenser som för honom ser helt likadana ut genom att räkna på permutationer av de två sorterna.

Ta då som exempel sekvensen som för honom är MMMLLLLLLL (3 mörka, följt av 7 ljusa). De tre mörka färgerna är egentligen tre olika, och kan vara de tre första i sekvensen på 3! olika sätt. På samma sätt kan de ljusa färgerna vara de sju sista på 7! sätt. Så Bosse ser 3! * 7! såna här sekvenser. Samma sak kommer gälla sekvensen LMLLLMLMLL. Alla sekvenser han ser, kommer dyka upp 3!*7! gånger.

Därför, om vi vill veta hur många unika sekvenser han kan se, dividerar vi bort upprepningarna: 10!3!7!\frac{10!}{3!7!}.

Fotbollskillen12 481
Postad: 30 dec 2020

Fast hur gäller detta för gatorna då det endast finns 7 upp och 3 åt höger?

Därför att varje sekvens på 10 tecken med tre H och sju U är precis ett sätt att gå till målet. Om jag ger dig sekvensen UUHUUHUUHU så kan du rita ut den promenaden, eller hur? Så, vi undrar hur många såna sekvenser som finns. 

Fotbollskillen12 481
Postad: 30 dec 2020

Så då kan U också variera? Så om jag har U1U2...U7H1H2H3 som ett sätt och varierar det så är det permutationerna t ex U3U4U3U2...U7H1H2H3?

Varje sekvens kan bara promeneras på ett sätt. UUHUUHUUHU läser du från vänster till höger, och går alltså "upp, upp, höger, ...". När du börjar indexera och flytta ordning på dem så får du med fallen där man t.ex. går sin andra höger innan man går sin första, och det funkar ju inte. Det blir sci-fi och tidsparadoxer.

Så ja, rent matematiskt kan du variera, dvs permutera, dina U1...U7 och H1...H3, men för att få de sekvenser som motsvarar en promenadbar väg ska du bara titta på "Bosses sekvenser".

Fotbollskillen12 481
Postad: 30 dec 2020 Redigerad: 30 dec 2020

Jo jag förstår såklart men det jag vill förstå är vad formeln 10!/3!*7! innebär i detta fallet 10!/7! ger permutationerna fast är dessa permutationer där borde H och U varierar och flyttas om så som jag skrev sist och sedan divideras det med 3! för att få fram antalet kombinationer då dessa 3 element kan skrivas på 3! Sätt? Och ifall även U nu varierar vad är anledningen till att man väljer tre element av 10? 

10! är alla permutationer av H1..H3 och U1...U7.

Sen vill vi dividera bort alla ogiltiga lösningar, där några H:n eller U:n kommer i fel ordning. Alla H:n måste vara i stigande ordning, och alla U:n måste vara i stigande ordning, annars tidsparadox.

H:n kan permuteras på 3! sätt, U:n på 7! sätt. Det innebär att varje "Bossesekvens" (indexlös sekvens) som UUHUUHUUHU kommer upprepas 3! * 7! gånger. Så, man dividerar med 3! * 7! för att räkna sekvenserna.

Med beräkningen 10! / 7! så har man skalat bort alla felordningar av U:n, så kvar har man sekvenser av typen UUH2UUH1UUH3UUUH_2UUH_1UUH_3U där alla H:n fortfarande kommer i alla sex ordningar.

Och på samma sätt, räknar man 10! / 3! så skalar man bort alla felordningar av H, så kvar får man sekvenser där U fortfarande kommer i alla 7! ordningar: U3U1HU2U7HU5U6HU4U_3U_1HU_2U_7HU_5U_6HU_4

Fotbollskillen12 481
Postad: 30 dec 2020

alltås förlåt förstår inte  detta gjorde det bara ännu mer förvirrat 

Jag försöker förklara vad de olika beräkningarna ger, för detta låter som vad du vill reda ut. Här är sammanfattningen:

10! = antal sekvenser av typen U1U3H3U2U4H1U5U6H2U7U_1U_3H_3U_2U_4H_1U_5U_6H_2U_7 (alla permutationer)

10! / 7! = antal sekvenser av typen UUH3UUH1UUH2UUUH_3UUH_1UUH_2U (permutationer där olika ordningar på U räknats bort)

10! / 3! = antal sekvenser av typen U1U3HU2U4HU5U6HU7U_1U_3HU_2U_4HU_5U_6HU_7 (permutationer där olika ordningar på H räknats bort)

10! / (3!7!) = antal sekvenser av typen UUHUUHUUHUUUHUUHUUHU (permutationer där alla inbördes ordningar på U och H räknats bort)

Fotbollskillen12 481
Postad: 30 dec 2020

Okej detta är min uppfattning än så länge av vad jag har förstått 

10! leder till alla möjliga kombinationer av U1-U7 och H1-H3 

Vi ska välja 3 element av 10 och sedan lägga på de resterande 7 valmöjligheterna i ordning som leder till en väg jag tänker detta som en styrelse av 10 personer där 3 ska ha olika roller och resterande 7 kommer ha samma roll kommentera gärna om det är fel uppfattning sedan varför vi väljer 3 element av 10 förstår jag inte riktigt då även U och H kommer att kombinerad inte bara H 

Sedan dividerat vi 10*9*8 på 3! Då det är 6 olika sätt som de kan skrivas på så vi får den kombinationen som går i ordning 

Varför tycker du att högersträckorna har olika roller, medan uppåtsträckorna har samma roll? Jag ser det som att det finns tio sträckor att promenera, och dessa finns i två olika sorter.

Fotbollskillen12 481
Postad: 30 dec 2020

Eftersom vi väljer tre element av 10 då uppfattar jag som att resterande är samma uppåt 

Ja, vi väljer tre sträckor av tio då vi går åt höger. Övriga sträckor går vi uppåt. Men dessa två (höger, uppåt) är de enda "roller" som finns. Det enda som skiljer olika "höger" åt är var i sekvensen de ligger, och samma sak gäller ju för "uppåt".

Svara Avbryt
Close