Gauss sats

Jag har inte kontrollerat något av vad du gjort. Dock så är integralen av 0 0. Samt att om du tänker efter vad en trippelintegral är så är det volymen över det område du integrerar över (med konstant funktion), och vad är volymen för cirkelskivan med radie 2?

Moffen skrev:

Jag har inte kontrollerat något av vad du gjort. Dock så är integralen av 0 0. Samt att om du tänker efter vad en trippelintegral är så är det volymen över det område du integrerar över (med konstant funktion), och vad är volymen för cirkelskivan med radie 2?

jag vill räkna på sättet

(sedan självklart ha en tredje integral - eftersom det är en volym)

men eftersom min integral blir 0.. vet jag inte hur jag ska göra.. 

Nu vet inte jag om det här klassas som dump (hoppas ej) försöker bara införliva lite idéer (kanske?) till hur uppg kanske kan lösas..

Fann detta: 

men då undrar jag vad min funktion blir, alltså ska jag sätta: 

${\int }_{}^{}{\int }_{x^2+y^2=4}^{}hela funktionen F här?\hspace{0.17em}* ds$

men eftersom ds står för dxdydz, och jag satte z=0 , så bär ju det bli

${\int }_{}^{}{\int }_{x^2+y^2=4}^{}F????? * dxdy$

men eftesom jag tar "tog bort" z (för att lägga till yta/locket på halvsfären) 

blir det ju konstigt med F funktionen ty vi har $z$ kvar i F. Ska hela den sättas till 0 då? och bara räkna på $x$ resp $y$??? eller hur blir det?

Ja, bottenplattan som du själv lagt dit ligger i xy-planet varför z=0 där. Alltså ska du sätta z=0 där z förekommer i uttrycket för F.

Bottenplattan är en cirkelskiva med radien 2.

Åt vilket håll pekar ytnormalen till cirkelskivan (den måste peka åt rätt håll för att du ska få använda Gauss sats)? Vad blir skalärprodukten mellan det vektoriella ytelementet och fältet?

Hur ser alltså integralen ut?

Guggle skrev:

Ja, bottenplattan som du själv lagt dit ligger i xy-planet så att z=0 där. Alltså ska du sätta z=0 där z förekommer i uttrycket för F.

Bottenplattan är en cirkelskiva med radien 2.

Åt vilket håll pekar ytnormalen till cirkelskivan (den måste peka åt rätt håll för att du ska få använda Gauss sats)? Vad blir skalärprodukten mellan det vektoriella ytelementet och fältet?

Hur ser alltså integralen ut?

 ${\int }_0^{2pi}{\int }_0^{2}r dr d\theta$

eftersom den är orienterad bort från origo, så borde normalen peka bort, dvs z=-1
och alltså får vi normalen (0,0,-1)

och $F = (2x-y,x-y,x^2+y^2)$

eller blir det  $F = (2x-y-z,x-y-2z,0)$

skalärt med (0,0,-1) 

heymel skrev:

 

eftersom den är orienterad bort från origo, så borde normalen peka bort, dvs z=-1
och alltså får vi normalen (0,0,-1)

Bra!

och $F = (2x-y,x-y,x^2+y^2)$

eller blir det  $F = (2x-y-z,x-y-2z,0)$

skalärt med (0,0,-1) 

Det första gäller, dvs när z=0 förenklas fältet till $\mathbf{F}=(2x-y, x-y, x^2+y^2)$

När du sedan tar skalärprodukten blir det $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S'}=(0+0-(x^2+y^2))dxdy$

Slutligen har du redan ett minustecken framför integralen, alltså blir det

$\displaystyle \int_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-\int_{S'} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S'}=-\iint_{D} -r^2\, rdr d\theta=8\pi$

Där cirkelskivans område $S'$ i $r\theta$-planet motsvarar  $D$ : $0\leq\theta\leq2\pi,\> 0\leq r \leq 2$

Guggle skrev:

heymel skrev:

Visa föregående citat

 

eftersom den är orienterad bort från origo, så borde normalen peka bort, dvs z=-1
och alltså får vi normalen (0,0,-1)

Bra!

och $F = (2x-y,x-y,x^2+y^2)$

eller blir det  $F = (2x-y-z,x-y-2z,0)$

skalärt med (0,0,-1) 

Det första gäller, dvs när z=0 förenklas fältet till $\mathbf{F}=(2x-y, x-y, x^2+y^2)$

När du sedan tar skalärprodukten blir det $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S'}=(0+0-(x^2+y^2))dxdy$

Slutligen har du redan ett minustecken framför integralen, alltså blir det

$\displaystyle \int_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-\int_{S'} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S'}=-\iint_{\Delta} -r^2\, rdr d\theta=8\pi$

Där $\Delta$ är cirkelskivan $0\leq\theta\leq2\pi,\> 0\leq r \leq 2$

 tack så jättemycket!

Men allt detta gör man pga att divF blev 0?

för försöker jämföra med en annan uppg, där divF blev talet A.

heymel skrev:

Men allt detta gör man pga att divF blev 0?

för försöker jämföra med en annan uppg, där divF blev talet A.

 Det beror naturligtvis på hur uppgiften i övrigt är formulerad, men det bör bli ungefär samma, bara att du får en extra term (divergensen gånger volymen) att lägga till i slutet. Du får lägga upp den som en separat uppgift, annars blir det rörigt.

Guggle skrev:

heymel skrev:

Men allt detta gör man pga att divF blev 0?

för försöker jämföra med en annan uppg, där divF blev talet A.

 Det beror naturligtvis på hur uppgiften i övrigt är formulerad, men det bör bli ungefär samma, bara att du får en extra term (divergensen gånger volymen) att lägga till i slutet. Du får lägga upp den som en separat uppgift, annars blir det rörigt.

 Återigen, tack så mycket. Ska se om det skiljer sig så mycket. Har för mig det,eller så har jag bara förstått uppgifterna med Gauss ännu bättre. På återseende (i en ny tråd :))