Ge verkliga exempel som kan beskrivas matematiskt med en styckvis definierad funktion

I princip kan alla sammanhängande funktioner göras "styckvis definierade"; det är inget "speciellt" med dem rent princpiellt utan skillnaden mellan sådana funktioner och andra har mer med vårt symbolspråk för funktioner att göra. Exempelvis om du har en funktion som beskriver priset $f\left(x\right)$ på $x$ biobiljetter enligt formeln, för $x\ge 1$

$\displaystyle f\left(x\right)=50x$

Skulle du enkelt kunna göra denna "styckvis definierad" genom:

$\displaystyle f{(x)}=\left\{\begin{array}{ll}50 x&\text{om }x\ge 5\\50x&\text{om }x\ge 1\end{array}\right.$

Detta är samma funktion men den är skriven "styckvis definierad".

naytte skrev:

I princip kan alla sammanhängande funktioner göras "styckvis definierade"; det är inget "speciellt" med dem rent princpiellt utan skillnaden mellan sådana funktioner och andra har mer med vårt symbolspråk för funktioner att göra. Exempelvis om du har en funktion som beskriver priset $f\left(x\right)$ på $x$ biobiljetter enligt formeln, för $x\ge 1$

$\displaystyle f\left(x\right)=50x$

Skulle du enkelt kunna göra denna "styckvis definierad" genom:

$\displaystyle f{(x)}=\left\{\begin{array}{ll}50 x&\text{om }x\ge 5\\50x&\text{om }x\ge 1\end{array}\right.$

Detta är samma funktion men den är skriven "styckvis definierad".

Jo, det klarnar en aning. Men blir inte den övre definitionen redundant? Skulle det inte vara mer korrekt med 40x om x >= 5? Eller beskriver detta en ny funktion?

Jo, det är klart redundant och det var lite det som var poängen. Det finns inget speciellt med styckvisa funktioner utan alla "vanliga" funktioner kan skrivas styckvisa.

Om du hade bytt ut det övre mot $40x$ hade det blivit en annan funktion.

Jaha. Tror jag förstår.

naytte skrev:

Jo, det är klart redundant och det var lite det som var poängen. Det finns inget speciellt med styckvisa funktioner utan alla "vanliga" funktioner kan skrivas styckvisa.

Om du hade bytt ut det övre mot $40x$ hade det blivit en annan funktion.

men varför är då detta inte en separat funktion? Här är ju uttrycken olika och det ser vi i funktionens graf på f(x) att den antar till synes en annan riktning. 

Att funktionen är styckvis definierad innebär helt enkelt att funktionen beskriver hur en storhet förändras beroende på någon variabel, där det inte är lämpligt (eller ens möjligt) att ange HELA förloppet med EN ENDA formel. Man använder alltså olika formler i olika faser av förloppet av storhetens utveckling.

Styckvis definierade funktioner förekommer i många (fysikaliska) modeller där omständigheterna förändras under tidens gång, vilket gör att funktionsformeln förändrar sin karaktär.

Ex. Man hoppar fallskärm. $f(t)=$ höjden över marken som hopparen befinner sig i $t$ sekunder efter att denne hoppat ut ur flygplanet. Uthoppshöjden är 4000m. Fallskärmen öppnas $25$ sekunder efter att man lämnat flygplanet.

• För tider mellan $t=0$ och $t=25$ sekunder ges $f(t)$ av formeln $f(t) = 4000 - 4,91 t^2$ då det handlar om fritt fall p.g.a. gravitationskraften. (Lite mer invecklade modeller skulle inkludera ett "litet" luftmotstånd.)
• För tider  $t>25$ sekunder, så ges höjden över marken av en helt annan funktionsformel då luftmotståndet är mycket mycket större när fallskärmen öppnats.

Det är inte helt passande att skriva formlerna som två separata funktioner, $f(t)$ med definitionsmängden $0 \le t \le 25$ och $g(t)$ med definitionsmängden $t > 25$. Det handlar ju om samma storhet - höjden över marken av samma fallskärmshoppare. Man definierar således $f(t)$ styckvis,

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cl}4000-4,91\,t^2&\text{då}\ 0\le t \le 25\\\text{någon annan formel}&\text{då}\ t>25\end{array}\right.$

LuMa07 skrev:

Att funktionen är styckvis definierad innebär helt enkelt att funktionen beskriver hur en storhet förändras beroende på någon variabel, där det inte är lämpligt (eller ens möjligt) att ange HELA förloppet med EN ENDA formel. Man använder alltså olika formler i olika faser av förloppet av storhetens utveckling.

 

Styckvis definierade funktioner förekommer i många (fysikaliska) modeller där omständigheterna förändras under tidens gång, vilket gör att funktionsformeln förändrar sin karaktär.

 

Ex. Man hoppar fallskärm. $f(t)=$ höjden över marken som hopparen befinner sig i $t$ sekunder efter att denne hoppat ut ur flygplanet. Uthoppshöjden är 4000m. Fallskärmen öppnas $25$ sekunder efter att man lämnat flygplanet.

• För tider mellan $t=0$ och $t=25$ sekunder ges $f(t)$ av formeln $f(t) = 4000 - 4,91 t^2$ då det handlar om fritt fall p.g.a. gravitationskraften. (Lite mer invecklade modeller skulle inkludera ett "litet" luftmotstånd.)
• För tider  $t>25$ sekunder, så ges höjden över marken av en helt annan funktionsformel då luftmotståndet är mycket mycket större när fallskärmen öppnats.

Det är inte helt passande att skriva formlerna som två separata funktioner, $f(t)$ med definitionsmängden $0 \le t \le 25$ och $g(t)$ med definitionsmängden $t > 25$. Det handlar ju om samma storhet - höjden över marken av samma fallskärmshoppare. Man definierar således $f(t)$ styckvis,

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cl}4000-4,91\,t^2&\text{då}\ 0\le t \le 25\\\text{någon annan formel}&\text{då}\ t>25\end{array}\right.$

Tjena. Sorry hade massa inlämningar som jag suttit med i flera dagar orelaterade till matematiken och öppnat upp boken först nu. Tack för svaret. Det hjälpte oerhört. Tar screenshot och klistrar in i mina anteckningar för framtida referens. Uppskattar dina utförliga svar som vanligt.