2 svar
46 visningar
Ygolopot är nöjd med hjälpen
Ygolopot 122
Postad: 3 feb 11:30 Redigerad: 3 feb 11:31

Generators and Direct Products

Hej,

Från följande exempel:

Är inte säker på hur jag ska tolka 9,12. Stämmer min spontana tolkning att jag kan ta vilket element som helst från 9 och addera med vilket element som helst från 12?

Det har inte framgått någonstans i texten hur man ska tolka det när man har två siffror innanför sina brackets.

Tack på förhand! :)

oggih 871 – F.d. Moderator
Postad: 19 feb 12:13 Redigerad: 19 feb 12:18

Låt GG vara en grupp, och låt SGS\subseteq G vara en delmängd. Då betecknar S\langle S\rangle delgruppen av GG som genereras av SS, som per definition består av alla gruppelement som kan uttryckas som en ändlig produkt av elementen i SS och deras inverser (i valfri ordning, och med hur många upprepningar man vill!).

Exempel. Om S={a,b,c}S=\{a,b,c\} så kommer S=a,b,c,\langle S\rangle=\langle a,b,c,\rangle bland annat att innehålla följande element:

  • bb
  • a-1a^{-1}
  • b-1cbab^{-1}{\color{gray}\star} c{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} a
  • abbc-1aa{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} c^{-1}{\color{gray}\star} a
  • ababa-1c-1bbbbba{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} a{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} a^{-1}{\color{gray}\star} c^{-1}{\color{gray}\star} b{\color{gray}{\color{gray}\star}} b{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} b{\color{gray}\star} b.

I ditt fall är G=G=\mathbb{Z} och S={9,12}S=\{9,12\}. Det betyder att 9,12\langle 9,12\rangle bland annat kommer innehålla 9+(-12)+(-12)+(-9)9+(-12)+(-12)+(-9) och (-9)+12+12+12(-9)+12+12+12. Eftersom \mathbb{Z} är abelsk kan vi "samla ihop termer av samma sort", och helt enkelt skriva

   9,12={9n+12m:n,m}.\langle 9,12\rangle=\{9n+12m:n,m\in\mathbb{Z}\}\,.

Ygolopot 122
Postad: 19 feb 15:22

Du är en hjälte! Tack!!

Svara Avbryt
Close