13 svar
207 visningar
Qetsiyah 4714 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 23 okt 2020 Redigerad: 23 okt 2020

Linjär algebra: generell formulering av Riesz representationssats

Hej, se satsens formulering här:

https://www.pluggakuten.se/trad/uppgift-angaende-riesz/

men jag läste även på wikipedia:

[...] establishes an important connection between a Hilbert space and its continuous dual space. If the underlying field is the real numbers, the two are isometrically isomorphic. 

Jag kan inte göra kopplingem mellan de två formuleringarna...

Det finns alltså en isometrisk isomorfi mellan Hilbertrummet och dess dual? Är det isometrin som möjliggör en representation av funktionalen med en vektor från V med hjälp av inre produkten

I ygolopots uppgift är T ett element i dualrummet, men det är faktiskt inte u som representerar den (u är i V). Om rummen är isomorfa finns dock ett element i V* (T helt enkelt) som är lika med u genom bijektionen?

Jag vet att för en isometri I gäller att (a, b)=(I(a), I(b)) (från en bok jag läste igår), men vad har det med existensen av entydligt u i Tv=(v, u) att göra? Och vilka inre produkter är det tal om i den första likheten? Det måste ju vara två olika inre produkter mellan vektorer i två olika vektorrum, i vårt fall V och V*. 

"Inducerar" en inre produkt i V en inre produkt i V* om de är isometriska? Vad är den explicit utskriven?

Bump

PATENTERAMERA 1750
Postad: 24 okt 2020 Redigerad: 24 okt 2020

Satsen i tråden berör endast ett vektorrum V med ändlig dimension.

Du vet redan att V och V* är isomorfa om V har ändlig dimension.

Om du har en inre produkt • på V så inducerar den en isomorfi b från V till V*.

b: V  V*, xbx(bx)(y) = xy.

b är injektiv (visa det) och därför även surjektiv då V har ändlig dimension.

PATENTERAMERA 1750
Postad: 24 okt 2020

Sedan kan du införa en inre produkt  på V* enligt

αω=b-1(α)b-1(ω).

oggih 790 – F.d. Moderator
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

Låt (H,·,·)(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle) vara ett Hilbertrum över 𝔽{,}\mathbb{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}, och låt ·:HR0\Vert\cdot\Vert\colon H\to \mathbb{R}_{\geqslant 0} vara den inducerade normen, definierad av

   x=x,x1/2.\Vert x\Vert=\langle x,x\rangle^{1/2}\,.

Låt vidare H*H^* vara dualrummet, definierat som mängden av alla kontinuerliga linjära fuktionaler :H𝔽\ell\colon H\to\mathbb{F} under punktvis addition och skalning. Låt ·*:H*R0\Vert\cdot\Vert_*\colon H^*\to\mathbb{R}_{\geqslant 0} vara den inducerade operatornormen, definierad av

   *=supxH{0}|(x)|x.\displaystyle{\Vert\ell\Vert_*}=\sup_{x\in H\setminus\{0\}}\frac{|\ell(x)|}{\Vert x\Vert}\,.

Varning!

När man pratar om dualrummet i funktionalanalys menar man nästan alltid dualrummet bestående av kontinuerliga linjära funktionaler. Detta är i allmänhet inte samma sak som det algebraiska dualrummet som består av alla linjära funktionaler (utan krav på kontinuitet).

Under förutsättningarna ovan säger Riesz representationssats följande två saker:

  • Varje funktional H*\ell\in H^* kan representeras av ett unikt element yHy\in H, i bemärkelsen att  (x)=x,y\ell(x)=\langle x,y\rangle för alla xHx\in H.
  • Detta ger upphov till en avbildning Φ:H*H\mathrm{\Phi}\colon H^*\to H som tar varje funktional \ell till sin representant. Denna avbildning är injektiv, surjektiv, antilinjär och isometrisk.

Med "isometrisk" menar man att *=Φ()\Vert{\ell}\Vert_*=\Vert\mathrm{\Phi}(\ell)\Vert, dvs. att operatornormen för funktionalen är samma som normen för dess representant.

Qetsiyah 4714 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

Vad är det som inducerar operatornormen?

över 𝔽∈{ℝ,ℂ}, 

Elegant sätt att skriva haha.

Så meningen jag klippte ut från Wiki är inte hela statsen? Jag trodde alltså att det enda satsen sa var att rummen var isometriskt isomorfta.

oggih 790 – F.d. Moderator
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

Vad är det som inducerar operatornormen?

Den induceras av normen ·\Vert\cdot\VertHH, som i sin tur induceras av den inre produkten ·,·\langle\cdot,\cdot\rangleHH.

Generellt gäller följande: Om du har ett normerat vektorrum (X,·)(X,\Vert\cdot\Vert) så kan du alltid utrusta dualrummet X*X^* med operatornormen ·*:XR0\Vert\cdot\Vert_*\colon X\to\mathbb{R}_{\geqslant 0} definierad av

   *=supxX{0}|(x)|x.\,{\Vert \ell \Vert_*}=\displaystyle\sup_{x\in X\setminus\{0\}} \frac{|\ell(x)|}{\Vert x\Vert}\,.

Så meningen jag klippte ut från Wiki är inte hela statsen? Jag trodde alltså att det enda satsen sa var att de var isometriskt isomorfta.

Det korrekta om man vill att satsen ska gälla över \mathbb{C} är att säga att de är isometriskt anti-isomorfa (vilket är samma sak som injektiv, surjektiv, anti-linjär och isometrisk). Över \mathbb{R} kan man skippa "anti".

Qetsiyah 4714 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

Hur ska jag börja plugga grupper och ringar när linjär algebra är så kul? Tur att boken jag köpte skickas om 7-10 vardagar (vet inte hur lång tid fraken tar).

Men... Jag kan bifoga en bild på vad isometri definierades som i boken jag läste (advanced linear algebra Roman):

Bild från bok

edit: jag måste tänka

oggih 790 – F.d. Moderator
Postad: 25 okt 2020 Redigerad: 25 okt 2020

Det här är lite stökigt...

Att en funktion är isometrisk betyder att den respekterar någon slags geometrisk struktur, vilket kan betyda olika saker beroende på sammanhanget:

  • En funktion f:(X,dX)(Y,dY)f:(X,d_X)\to (Y,d_Y) mellan metriska rum sägs vara isometrisk om dY(f(x),f(y))=dX(x,y)d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y) för alla x,yXx,y\in X.
  • En funktion f:(X,·X)(Y,·Y)f:(X,\Vert\cdot\Vert_X)\to (Y,\Vert\cdot\Vert_Y) mellan normerade vektorrum sägs vara isometrisk om f(x)Y=xX\Vert f(x)\Vert_Y=\Vert x\Vert_X för alla xXx\in X.
  • En funktion f:(X,·,·X)(Y,·,·Y)f:(X,\langle\cdot,\cdot\rangle_X)\to (Y,\langle\cdot,\cdot\rangle_Y) mellan inre produktrum sägs vara isometrisk om f(x),f(y)Y=x,yX\langle f(x),f(y)\rangle_Y=\langle x,y\rangle_X för alla x,yXx,y\in X.

Lyckligtvis leder detta sällan till speciellt mycket besvär. Om båda rummen som är inblandade i funktionen har en inre produkt som respekteras, så kommer de även att ha inducerade normer som respekteras, vilket i sin tur leder till inducerade metriker som respekteras.

Påminnelse

Om vi har en inre produkt ·,·\langle\cdot,\cdot\rangleXX, så inducerar detta alltid en norm x=x,x1/2\Vert x\Vert=\langle x,x\rangle^{1/2}, vilket i sin tur inducerar en metrik d(x,y)=x-yd(x,y)=\Vert x-y\Vert.

Så vad menar vi då, när vi i Riesz representationssats säger att avbildningen Φ:H*H\mathrm{\Phi}\colon H^*\to H är isometrisk? Det finns egentligen två sätt att tolka det:

  • Det ena (och imo rimligaste) är att betraka Φ:H*H\Phi\colon H^*\to H som en avbildning mellan normerade vektorrum. Normen på HH är ·\Vert\cdot\Vert inducerad från ·,·\langle\cdot,\cdot\rangle, och normen på H*H^* är operatornormen ·*\Vert\cdot\Vert_* inducerad från ·\Vert\cdot\Vert. Det är så jag tolkar det i mitt inlägg här ovan.
  • Det andra är att betrakta Φ:H*H\mathrm{\Phi}\colon H^*\to H som en avbildning mellan inre produktrum - men då måste vi hålla tungan rätt i mun! För a aprio har vi inget sjävklart val av inre produkt på H*H^*. (Har man en inre produkt på ett rum finns det inget uppenbart sätt att använda den för att "inducera" en inre produkt på dualrummet.) Men eftersom vi redan vet (från resten av Riesz representationssats) att Φ\mathrm{\Phi} är en bijektion, så kan vi "transporera" den inre produkt-strukturen över till H*H^* och helt enkelt införa ,φ*=Φ(),Φ(φ)\langle \ell,\varphi\rangle_*=\langle\mathrm{\Phi}(\ell),\mathrm{\Phi}(\varphi)\rangle, så som föreslogs tidigare i tråden. Då blir Φ\Phi automatiskt per definition en isometri... men det skulle väl knappast vara värt att kalla en sats! ;)
Sidenote

Vad som däremot är intressant är huruvida den här "övertransporterade" inre produkten ·,·*\langle\cdot,\cdot\rangle_* är kompatibel med operatornormen ·*\Vert\cdot\Vert_*, i bemärkelsen att den norm som ·,·*\langle\cdot,\cdot\rangle_* inducerar verkligen är ·*\Vert\cdot\Vert_*.

Med andra ord: Gäller det att ,*1/2=*\langle \ell,\ell\rangle_*^{1/2}=\Vert \ell\Vert_* för alla H*\ell\in H^*?

Svaret är ja:

   ,*1/2=Φ(),Φ()1/2=Φ()=*,\langle \ell,\ell\rangle_*^{1/2}=\langle \mathrm{\Phi}(\ell),\mathrm{\Phi}(\ell)\rangle^{1/2}=\Vert \mathrm{\Phi}(\ell)\Vert=\Vert\ell\Vert_*\,,

där den sista likheten följer av den gängse tolkningen av Riesz representationssats.

Qetsiyah 4714 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 27 okt 2020 Redigerad: 27 okt 2020
oggih skrev:

För a aprio har vi inget sjävklart val av inre produkt på H*H^*. (Har man en inre produkt på ett rum finns det inget uppenbart sätt att använda den för att "inducera" en inre produkt på dualrummet.)

Ja...

  • Då blir Φ\Phi automatiskt per definition en isometri... men det skulle väl knappast vara värt att kalla en sats! ;)

Ja...

Sidenote

Vad som däremot är intressant är huruvida den här "övertransporterade" inre produkten ·,·*\langle\cdot,\cdot\rangle_* är kompatibel med operatornormen ·*\Vert\cdot\Vert_*, i bemärkelsen att den norm som ·,·*\langle\cdot,\cdot\rangle_* inducerar verkligen är ·*\Vert\cdot\Vert_*.

Med andra ord: Gäller det att ,*1/2=*\langle \ell,\ell\rangle_*^{1/2}=\Vert \ell\Vert_* för alla H*\ell\in H^*?

Svaret är ja:

   ,*1/2=Φ(),Φ()1/2=Φ()=*,\langle \ell,\ell\rangle_*^{1/2}=\langle \mathrm{\Phi}(\ell),\mathrm{\Phi}(\ell)\rangle^{1/2}=\Vert \mathrm{\Phi}(\ell)\Vert=\Vert\ell\Vert_*\,,

där den sista likheten följer av den gängse tolkningen av Riesz representationssats.

Mmmm

Det var väl inte så stökigt? Vad var stökigt? Att isometri kan betyda olika saker?

oggih 790 – F.d. Moderator
Postad: 27 okt 2020
Qetsiyah skrev:

Det var väl inte så stökigt? Vad var stökigt? Att isometri kan betyda olika saker?

Dels det, och dels att det finns så många lager av strukturer när man pratar om Hilbert-rum: en inre-produkt, som inducerar en norm, som inducerar en metrik, som inducerar en topologi - och det gäller att man är på det klara med vilken struktur det är man pratar om :D Men visst, det finns stökigare saker man kan råka ut för.

Qetsiyah 4714 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 27 okt 2020 Redigerad: 27 okt 2020

Just det, på tal om att "inducera" använde läraren det ordet på ett konstigt sätt.

Han sa att * operationen i en undergrupp induceras av den som redan finns i gruppen. Men vadå, den måste ju vara samma, vore konstigt om den inte var det. Inducering i som vi pratar om i linjär algebra sammanhang är ju annorlunda... Typ

oggih 790 – F.d. Moderator
Postad: 27 okt 2020 Redigerad: 28 okt 2020

Ordet "inducera" används ganska löst i matematiken när en viss struktur ger upphov till en annan struktur, så det din lärare sa är helt inom ramarna för hur ordet brukar användas.

Till exempel kan man säga följande:

En undergrupp av en grupp (G,)(G,\star) är en icke-tom delmängd HGH\subseteq G som är sluten under både gruppoperationen och inversen. Varje sådan undergrupp HH är själv en grupp under restriktionen av \star till H×HH\times H, och det kan man uttrycka som att GG inducerar en gruppoperation på HH (eller att HH "ärver" sin gruppoperation av GG).

Känns bara väldigt självklart att ett underrum till nåt ska ha samma operation. Inducera måste man göra med lite finess. Ja, äsch, spelar ingen roll!

Svara Avbryt
Close