Geometriskt mönster - hur många gråa trianglar finns i figur n?

Den är lite klurig.

Kanske har du sett detta mönster för de grå:

Då är det inte så svårt att räkna ut antalet grå i femte figuren.

Nu är vi ju på jakt efter ett uttryck, så då undrar jag om du hört talas om artimetiska summor?

Kika här och se om du hittar något passande: Talföljder - Matteboken

sictransit skrev:

Den är lite klurig.

Kanske har du sett detta mönster för de grå:

n	antal grå
1	1
2	1+2
3	1+2+3
4	1+2+3+4

 

Yes, det märkte jag, försökte lista ut ett uttryck med den infon men a det gick inte så bra kan man säga  😅 

Nu är vi ju på jakt efter ett uttryck, så då undrar jag om du hört talas om artimetiska summor?

Det har jag inte 

Jag läste hela texten om både aritmatiska och geometriska talfäljder/summor. Vad är det jag letar efter?

Det här stycket är intressant, alltså hur man skriver ett uttryck för summan 1+2+...+n.

Här har du a₁=1 (första talet i serien) och a_n=n (sista talet i serien).

Prova att sätta in och se om det stämmer!

Såå då blir det väl något sånt:

$s_4 = \frac{4 \times (1 + 10)}{2}$

Och när löst blir det:

$s_4 = 22$

Men hur hjälper detta mig?

Kan det möjligtvis vara så att man tar s₄ - s₃ för att veta vad a₄ är?

Dock märker jag nu att summan av a₁, a_2, a₃  och a₄ är 20, inte 22, så det måste jag ha gjort fel

h_09 skrev:

Såå då blir det väl något sånt:

$s_4 = \frac{4 \times (1 + 10)}{2}$

Och när löst blir det:

$s_4 = 22$

Men hur hjälper detta mig?

Kan det möjligtvis vara så att man tar s₄ - s₃ för att veta vad a₄ är?

$$\begin{gathered} s_4=\frac{4(1+4)}{2}=10 \\ {s}_5=\frac{5(1+5)}{2}=15 \end{gathered}$$

Jaha!! Där är det ju.

Så uttrycket är 

$s_n = \frac{n (1 + n)}{2}$ enkelt skrivet

Finns det andra, potentiellt enklare sätt att lösa det på? Och, följdfråga, borde jag kunna sådana aritmatiska summur i nian? Inför NP till och med? För det har jag inte lärt mig

Det verkar som ett klassiskt mönster i nians matematik. Jag hjälpte min bror med NP-förberedelser häromdagen och då var det liknande uppgifter på gamla NP.

h_09 skrev:

Jaha!! Där är det ju.

Så uttrycket är 

$s_n = \frac{n (1 + n)}{2}$ enkelt skrivet

Finns det andra, potentiellt enklare sätt att lösa det på? Och, följdfråga, borde jag kunna sådana aritmatiska summur i nian? Inför NP till och med? För det har jag inte lärt mig

Ja, ett annat sätt är att beskriva nästa värde baserat på det föregående. Det kallas för rekursion.

För n=1 så har du 1 grå triangel. För varje ny figur lägger du på n, alltså 2, 3, 4, ...

Det kan man beskriva så här:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_n=a_{n-1}+n \mathrm{om} n>1\end{array}\right.$

Vi kan läsa det som att a₁=1, för det står på första raden.

Vill vi veta vad a₂ är, så står det att det är a_n-1+n, alltså a₁+2=3.

Samma sak för a₃: 
a₃=a₂+3
... men a₂ var ju a₁+2, så det blir a₃=a₁+2+3
... ... men a₁ är ju =1, så det blir a₃=1+2+3=6.

Det här är inte heller högstadiematte, eller hur?

naytte skrev:

Det verkar som ett klassiskt mönster i nians matematik. Jag hjälpte min bror med NP-förberedelser häromdagen och då var det liknande uppgifter på gamla NP.

Jaså? Har inte lärt mig det, och har NP den här veckan

sictransit skrev:Det här är inte heller högstadiematte, eller hur?

Joo, det kom på mitt matteprov häromdagen, vilket var om allt vi gått igenom åk 7-9, fast jag kan inte minnas att jag lärt mig detta.