Ger curl alltid en vektor eller gäller detta endast i 3-dimensioner och större?

Halloj!

Jag har just kollat på en videoserie om div- och curloperatorerna för vektorvärda funktioner. När videomakaren definerade " $\mathrm{2D-curl}$ " av en vektorvärd funktion i två dimensioner menade han att detta bara var en skalär. När han däremot gick till det allmänna fallet och introducerade den riktiga notationen $\mathrm{curl}$ menade han att detta var en vektor, samt att:

$\displaystyle \mathrm{curl}\left(\mathbf{f}\right)=\nabla \times\mathbf{f} = \text{någon vektor}$

Jag undrar om det gäller i allmänhet att curl ger en vektor, även om man bara arbetar i två dimensioner. Jag misstänker att han till en början definerade det som en skalär bara för att det skulle vara lite enklare att förstå (han använde ju också icke-standardnotation vad jag kan se).

2d-rotationen kan också tolkas som en vektor, fast i 3d.

Ett 2d-vektorfält $\mathbf{f}\left(x,y\right) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}$ kan tolkas som ett 3d-vektorfält $\mathbf{\tilde{f}}\left(x,y,z\right) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \\ 0 \end{pmatrix}$

När man beräknar rotationen av det här 3d-fältet, så får man

$\mathrm{curl_{3D}}\mathbf{\tilde{f}}\left(x,y,z\right) = \nabla \times \mathbf{\tilde{f}}\left(x,y,z\right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \partial_x f_2\left(x,y\right) - \partial_y f_1\left(x,y\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \mathrm{curl_{2D}}\mathbf{f}\left(x,y\right) \end{pmatrix}$ .

Det är alltså endast $z$ -komponenten som kan bli nollskild och därmed går det bra att arbeta med 2d-rotationen som om den var ett skalärfält.

Okej, men låt säga att vi har en vektorvärd funktion av två variabler och någon ber oss beräkna "curl" av den funktionen. Hur hade du angivit svaret då?

En ytterligare fråga:

Hur gör man om det är en funktion $\mathbf{f}:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , dvs. vi tar in tre tal men får bara ut en 2D-vektor? Är curl ens väldefinierat då?

naytte skrev:
Okej, men låt säga att vi har en vektorvärd funktion av två variabler och någon ber oss beräkna "curl" av den funktionen. Hur hade du angivit svaret då?

Om det inte finns något särskilt skäl varför man vill gå upp en dimension, så skulle jag nog svara med skalärfältet.

(T.ex. om man vill visa att Greens sats bara är ett specialfall av Stokes sats, så vill man tolka 2d-vektorfält som 3d)

naytte skrev:
Hur gör man om det är en funktion $\mathbf{f}:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , dvs. vi tar in tre tal men får bara ut en 2D-vektor? Är curl ens väldefinierat då?

Då får man nog lägga till en dimension i målmängden, d.v.s. arbeta med $\mathbf{\tilde{f}}\left(x,y,z\right) = \begin{pmatrix} f_1(x,y,z) \\ f_2(x,y,z) \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Det kan vara intressant att titta på hur detta behandlas mha geometrisk/Clifford algebra.

Svara

Visa senaste svar