Glad vintersolståndsdag + utmaning! 📉📈

Rolig tråd!

Ställer vi några krav på $f$ om kontinuitet eller något liknande? Annars kan man ju bara skapa en karta som mappar varje dag mot uppmätta dagslängder... 😄

Ordet "bästa" är ett medvetet vagt ordval, så det är upp till var och en vad man tycker är en "bra" funktion!

Till exempel vore det kanske trevligt med en funktion som inte bara är definierad på heltalen, utan även innehåller mer detaljerad information, så att man kan uppskatta vilken tid på dygnet vinter- och sommarsolståndet inträffar. Men detta är så klart helt en smaksak!

Dock: regeln är att funktionen måste skrivas ner explicit (i form av någon slags praktiskt användbar formel), så om du vill ge det svaret får du nog vackert skriva ut alla 365 funktionsvärdena! I ljuset av den regeln blir kanske koncsishet en parameter som påverkar hur "bra" en funktion är! 😉

Trevligt uppmärksammande – tack och detsamma! Vän av pedantism ordning undrar hur en dag kan vara som allra kortast vid en specifik tidpunkt på dagen. Är en viss tidpunkt på ett dygn kortare än en annan? 🤔

Personligen tycker jag att det är rätt trevligt att solen går upp och ned ungefär när man vaknar respektive somnar, så min funktion är $f\left(x\right)=\frac{x-180}{180}$, där funktionsvärdet tolkas enligt principen: 

$f\left(x\right)\le -0,5$ => För korta dagar

$0,5\le f\left(x\right)$ => För långa dagar

$-0,5<f\left(x\right)<0,5$ => Lagom långa dagar. 😅

Jag vill minnas ett mycket trevligt föredrag av Anders Kjellén om hur man tillämpade (grundläggande) linjär algebra för att få fram en "solklocka". Jag har dock inga anteckningar kvar tyvärr och jag kommer ej ihåg noggranheten heller. Jag minns ett program som medföljde Casio-räknare förr. Det var vidrig triginometri. Jag har nog formlerna någonstans, men de går säkert att finna på nätet idag.

En annan idé kan vara Lagrangeinterpolering för att hitta ett polynom som skär alla punkter vi önskar, från data vi kan hitta på internet. Eller så kan man använda lite linalg för att bestämma det polynom av önskad grad som approximerar datan bäst.

Det kanske blir lättare om vi kan enas om vad som räknas som "bäst". Ska det vara

• hur exakt funktionen är?
• hur enkel den är att hantera?
• hur kort funktionsuttrycket är?
• vill kanske veta ungefär hur fort dagarnas längd förändras vid vissa tillfällen?

naytte skrev:

En annan idé kan vara Lagrangeinterpolering för att hitta ett polynom som skär alla punkter vi önskar, från data vi kan hitta på internet. Eller så kan man använda lite linalg för att bestämma det polynom av önskad grad som approximerar datan bäst.

Det kanske blir lättare om vi kan enas om vad som räknas som "bäst". Ska det vara

• hur exakt funktionen är?
• hur enkel den är att hantera?
• hur kort funktionsuttrycket är?
• vill kanske veta ungefär hur fort dagarnas längd förändras vid vissa tillfällen?

Jag kan nog tycka att funktionen bör vara hållbar/rimlig även för icke-heltalsvärden. Om dag 124 är 16,5 timmar lång, och dag 125 är 16,55 timmar lång (värden tagna ur luften), då är det inte rimligt att dag "124,5" plötsligt är 21 timmar lång. För att formalisera det kravet: 

• $f\left(x\right)\le f(x+h)\le f(x+1)$ (på våren) och $f\left(x\right)\ge f(x+h)\ge f(x+1)$ (på hösten), där $h\in \left(0,1\right)$.
• Samt att värdena mellan två dagar bör vara i storleksordning (ex. dag 124,1 är kortare än dag 124,7). Vilket väl kan skrivas som $f(x+a)\le f(x+b), a\le b$ (på våren, då dagarna blir längre) för alla a och b i intervallet (0,1), och motsvarande omvända samband på hösten?

f(x) = 12 + 6 sin($\frac{2\mathrm{\pi x}}{365}$ - 1,4) ger hyfsade dagslängder för Svealand,

där 1,4 kommer från 2$\mathrm{\pi }$ $(\frac{1}{4}-\frac{10}{365})$, 10 dagar mellan vintersolståndet och årsslutet. 

Jag använde ett diagram från SMHI.