Globala extrempunkter

Det är nog bara ett räknefel när du finner nollställen,

Jag hänger inte riktigt med på vad som händer i din lösning. Var använder du att $x,y$ ligger på cirkelskivan? Såvitt jag kan se räknar du bara på randen.

Funktionen kommer ju ha ett största och minsta värde på skivan även om de inte är en stationära punkter.

Trinity2 skrev:

Det är nog bara ett räknefel när du finner nollställen,

Jag satte g'(theta)=0 och fick två vinklar, är det det som är fel?

naytte skrev:

Jag hänger inte riktigt med på vad som händer i din lösning. Var använder du att $x,y$ ligger på cirkelskivan? Såvitt jag kan se räknar du bara på randen.

Funktionen kommer ju ha ett största och minsta värde på skivan även om de inte är en stationära punkter.

Jag räknar inre stationära punkter i steg 1 och får två punkter som ligger inuti cirklen vilket jag kontrollerade

Ja men hur vet du att de största och minsta värdena på skivan är stationära punkter till $f$?

Det vet ju jag inte men stationära punkter kan vara globala extrempunkter. Jag kontrollerar randpunkter också. 

Stationära punkter kan vara globala extrempunkter och om de råkar vara globala extrema har du rätt i att de också måste vara störst eller minst på skivan. Men om du har otur kan de ju vara lokala extrama också och då kan det ändå finnas $x,y$ som uppfyller $x^2+y^2 \le 4$ som ger större värden på $f(x,y)$ än de extrema du hittade.

En liten figur

Ja så långt är jag med. På geogebra visade det sig att de visst var lokala. Men mina randpunkter verkade inte heller ge korrekta globala punkter vilket är därför jag undrar vart det gick fel.

Trinity2 skrev:

En liten figur

 

Jag förstår inte riktigt vad jag ska se från figuren. 

Jag vet inte om detta skulle fungera, men en idé för att lösa uppgiften kan vara att parametrisera $x$ och $y$ i polära koordinater:

$\displaystyle x(r,\theta)=r\cos\theta$

$\displaystyle y(r,\theta)=r\sin\theta$

för $r\in [0, 2]$ och $\theta \in [0, 2\pi )$.

Nu kan du söka stationära punkter eftersom vi har använt att våra $x,y$ faktiskt ligger på cirkelskivan (vilket ger vår specialfunktion här). Vid stationära punkter gäller som bekant $df=0$ (tangentplanet till ytan är platt), vilket ger

$\displaystyle df=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}\right)dr+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta}\right) d\theta=0$

för alla $dr,d\theta$.

Detta ger ett ekvationssystem som borde gå att lösa.

Jag parametrisera för att hitta randpunkter jag söker efter. Då är r=2, för mina punkter som ligger på randen är vid radie 2, och x=2 cos (θ), y=2 sin(θ). Jag fick g(θ)=f(x,y)=8cos²(θ)sin(θ) +4cos(θ) -6sin(θ)

Jag deriverade och satte g'(θ)=0 och löste punkterna grafiskt. Jag fick då två vinklar. Varför blir det fel? 

L123 skrev:

Jag deriverade och satte g'(θ)=0 och löste punkterna grafiskt. Jag fick då två vinklar. Varför blir det fel? 

Derivatan g'(θ) har inte beräknats korrekt. Som figuren i #2 visar så har funktionen g(θ) (den gröna kurvan) totalt sex lokala extrempunkter inom en period, så ekvationen g'(θ)=0 ska ha sex olika lösningar i intervallet [0, 2pi]