grafer

När man pratar om avstånd i koordinatsystem så är det nästan alltid så att man kan använda avståndformeln.

I Ma1c fick ni lära er om pythagoras sats och i Ma2c gick man igenom att den kan användas för att härleda avståndsformeln som ger avståndet mellan två punkter.

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Om (x,y) är den okända punkten och (2,0) är den andra punkten så är avståndet mellan dem**

$d = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2}$

Men då y = 2x så kan detta skrivas som 

$d = \sqrt{(x - 2)^2 + (2x)^2}$

Frågan är egentligen vilket värde på x som gör att uttrycket till höger blir så litet som möjligt för då kommer det att vara x-koordinaten hos punkten på linjen som ligger närmast.

Problemet är alltså att hitta 'minimum' till funktionen d(x) vilket man kan göra med derivata eller symmetrilinjen.

Innan du börjar med det så behöver jag dock ge ledningen att det är jobbigt att försöka derivera en rotfunktion så man nyttjar att om man hittar x-värdet som minimerar d(x) så kommer det även att minimera d(x)^2 så det är enklast att kvadrera båda led och därefter

$d(x)^2 = (x - 2)^2 + (2x)^2$

Hitta värdet på x som 'minimerar'

$f(x) = (x - 2)^2 + (2x)^2$

Stegen är alltså 

1. Formulera en funktion som beskriver avståndet

2. Hitta det x-värde som ger minsta värdet hos den punkten.

3. (a,2a) är då punkten som är närmas (2,0) om a är svaret vid 2.

 

**edit denna rad skrev 1:a istället för 0:a

Det är även möjligt att lösa detta problem med ren geometri men gör förmodan att det handlar om max-min med derivata då det är Ma4.