gränsvärde och deriverbarhet i intervall

Jag antar att du med din skiss menar att funktionen är definierad i det öppna intervallet $(a,b)$. Då är funktionen inte definierad vid varken $x=a$ eller $x=b$ och då kan derivatan inte existera i någon av dessa punkter.

Hade funktionen däremot varit definierad på det slutna intervallet $[a,b]$ finns det nog rätt många som skulle hävda att det finns en derivata i $x=a$. Det existerar ju i sådana fall en vänsterderivata i $x=a$, och från höger är derivatan inte definierad, vilket jag själv skulle tolka som att derivatan faktiskt existerar i $x=a$. Dock finns det säkert de som menar att detta bara får kallas för ensidig derivata.