Gränsvärde, x går mot minus oändligheten

Du tänker i rätt banor, du gör bara lite fel på algebran. Det går nämligen inte att bara bryta ut $x$ ur en kvadratrot så där. Gör istället enligt följande:

$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+x}}{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}}{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x+3}=...$

Super, tack! 

Därav definierar man absolutbeloppet av x utanför kvadratroten till -1 pga av att x går mot minus oändigheten?

Ungefär så. I och med att $x$ är negativt kommer att absolutbeloppet att byta tecken på det som finns inuti det, då blir $|x|=-x$ och vi får:

$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x(1+\frac{3}{x})}=-\dfrac{\sqrt{1}}{1}=-1$

Poletten trilla ner nu, tack så mycket! :)