Green

Om du modifierar polära koordinater till att vara elliptiska koordinater:

$\{\begin{matrix}x=r\cos(\theta)\\y=\dfrac{r}{2}\sin\left(\theta\right)\end{matrix}$

Kommer du inte att få Jacobideterminanten $|J|=r$, utan något lite annat. Kommer du ihåg vad?

EDIT: Här är några gamla trådar där vi pratade om Jacobideterminant i elliptiska koordinater om du vill kika på dem:

https://www.pluggakuten.se/trad/berakna-denna-funktionaldeterminant/

https://www.pluggakuten.se/trad/stokes-sats-8/?order=all#post-7b34a1f7-9d6f-4875-bf68-a9db01271664

https://www.pluggakuten.se/trad/gauss-divergenssats-1/

AlvinB skrev:

Om du modifierar polära koordinater till att vara elliptiska koordinater:

$\{\begin{matrix}x=r\cos(\theta)\\y=\dfrac{r}{2}\sin\left(\theta\right)\end{matrix}$

Kommer du inte att få Jacobideterminanten $|J|=r$, utan något lite annat. Kommer du ihåg vad?

EDIT: Här är några gamla trådar där vi pratade om Jacobideterminant i elliptiska koordinater om du vill kika på dem:

https://www.pluggakuten.se/trad/berakna-denna-funktionaldeterminant/

https://www.pluggakuten.se/trad/stokes-sats-8/?order=all#post-7b34a1f7-9d6f-4875-bf68-a9db01271664

https://www.pluggakuten.se/trad/gauss-divergenssats-1/

Ja juste, så det blir r/2 drdO

?
Men fortfarande, ska jag ens gå över till  X = cos,
Alltså det blir ju så pannkaka? kaka på kaka? eller? :S

Varför tycker du det? Integrationsområdet är ju en ellips, då är väl elliptiska koordinater inte så tokigt?

AlvinB skrev:

Varför tycker du det? Integrationsområdet är ju en ellips, då är väl elliptiska koordinater inte så tokigt?

int_(gamma) x sin (y^2) dx + (x^2y cos(y^2)+2x)dy <---- då behöver väl inte denna konvertera över till polära kordinater, för jag kan ju inte sätta x=r cos theta in i den?

Du skall använda Greens formel innan du gör variabelbytet.

Nu när jag räknar på det ser jag även en geometrisk genväg om man vet att en ellips med halvaxlarna $a$ och $b$ har arean $ab\pi$.

Hej!

Greens sats säger att kurvintegralen är samma sak som en dubbelintegral.

    $\displaystyle\oint_{\partial E}P\,dx+Q\,dy = \iint_{E} (Q_x-P_y)\,dxdy$

där $E$ betecknar ellipsskivan och $\partial E$ betecknar ellipsen (randen till ellipsskivan).

När du beräknar dubbelintegralen är det en bra idé att uttrycka den med hjälp av elliptiska koordinater. 

Med $P=x\sin y^2$ och $Q=2x+x^2y\cos y^2$ blir $Q_x=2+2xy\cos y^2$ och $P_y=2xy\cos y^2$ vilket ger den väldigt lättberäknade dubbelintegralen

    $\displaystyle\iint_{E}Q_x-P_y\,dxdy=\iint_{E}2\,dxdy = 2\text{Area}(E).$

AlvinB skrev:

Du skall använda Greens formel innan du gör variabelbytet.

Nu när jag räknar på det ser jag även en geometrisk genväg om man vet att en ellips med halvaxlarna $a$ och $b$ har arean $ab\pi$.

halvaxlarna? vad menas? :$

Albiki skrev:

Med $P=x\sin y^2$ och $Q=2x+x^2y\cos y^2$ blir $Q_x=2+2xy\cos y^2$ och $P_y=2xy\cos y^2$ vilket ger den väldigt lättberäknade dubbelintegralen

    $\displaystyle\iint_{E}Q_x-P_y\,dxdy=\iint_{E}2\,dxdy = 2\text{Area}(E).$

Där $E = {(r,\theta): \theta \in [0,2\pi], r \in [0,1] }$ ?

mrlill_ludde skrev:

Albiki skrev:

Med $P=x\sin y^2$ och $Q=2x+x^2y\cos y^2$ blir $Q_x=2+2xy\cos y^2$ och $P_y=2xy\cos y^2$ vilket ger den väldigt lättberäknade dubbelintegralen

    $\displaystyle\iint_{E}Q_x-P_y\,dxdy=\iint_{E}2\,dxdy = 2\text{Area}(E).$

Där $E = {(r,\theta): \theta \in [0,2\pi], r \in [0,1] }$ ?

Nej!! Det du har skrivit är en cirkelskiva. Läs mitt inlägg igen!