4 svar
58 visningar
Faxxi är nöjd med hjälpen
Faxxi 246
Postad: 23 feb 2021

Greens formel - enhetscirkeln

Hej! Har fastnat på följande uppgift.

Greens formel ger att integralen är lika med D(3x2+3y2)dxdy. Men jag hittar inte det nya området! Vi kan ju göra om till polära koordinater och få x=cost, y=sint för 0t2π. Man då är det en enkelintegral, ingen dubbelintegral, eftersom vi bara har 1 variabel att integrera (då radien är konstant). Så kan man väl inte göra? Vi kan väl heller inte sätta -1x1,-1y1 eftersom det är en cirkel och inte en fyrkant som integreras. (Svaret ska vara 3π/2.)

Moffen 1169
Postad: 23 feb 2021

Hej!

Det stämmer att en parametrisering av enhetscirkeln ges av x=costx=\cos{t} och y=sinty=\sin{t}. Varför?

Vad är en parametrisering av cirkeln med mittpunkt i origo och radie R0,1R\in\left(0,1\right)?

Vad händer om vi ritar ut alla cirklarna i ett och samma koordinatsystem?

Faxxi 246
Postad: 23 feb 2021

Vi kan även skriva parametriseringen som x=rcost, y=rsint. Men här är ju r = 1, alltså konstant. Vi kan väl inte låta 0r1, vi har ju bara att göra med cirkelns rand och inte dess innehåll.

Moffen 1169
Postad: 23 feb 2021
Faxxi skrev:

Vi kan även skriva parametriseringen som x=rcost, y=rsint. Men här är ju r = 1, alltså konstant. Vi kan väl inte låta 0r1, vi har ju bara att göra med cirkelns rand och inte dess innehåll.

Poängen med Green's är ju att gå från en kurvintegral till en dubbelintegral (eller tvärtom). Det betyder att din kurva γ\gamma i kurvintegralen utgör randen till områden DD som du sedan integrerar över, dvs. γ=D\gamma=\partial D. Så jag tycker det verkar rimligt att låta 0r10\leq r\leq 1 för att tillsammans med θ0,2π\theta\in\left[0,2\pi\right) beskriva området DD.

Faxxi 246
Postad: 24 feb 2021

Du har rätt! Då är jag med, tack!

Svara Avbryt
Close