13 svar
101 visningar
ConnyN är nöjd med hjälpen!
ConnyN 820
Postad: 17 maj 2019

Håller mitt bevis?

Uppgiften lyder visa att a+b2a·b där a och b är 0 

Om a=b så får vi a+a2a·a  2a2a  vilket ser helt OK ut.

Om b=a+n  så får vi a+(a+n)2a(a+n) (2a+n)24a2+an  

4a2+4an+n24a2+an   (a2+an)+n24(a2+an)  

n24 kommer alltid att vara 0  och alltså är a+b2a·b  v.s.b.

haraldfreij 819 – Mattecentrum-volontär
Postad: 17 maj 2019 Redigerad: 17 maj 2019

Grundidén är bra, men argumentationen får du jobba på. Implikationspilen som gu gör mellan varje steg betyder "Om det till vänster är sant är också det till höger sant". Men det är ju det till vänster som du vill bevisa, så det är pil åt vänster som du behöver. I ditt fall, eftersom a och b är positiva båda två, gäller implikation åt båda hållen.

Ett alternativ, som inte kräver implikationspilar, är att skriva det som (med b=a+n)

a+b2=2a+n2=(2a+n)24=a2+an+n2/4a2+an=a(a+n)=ab\frac{a+b}{2}=\frac{2a+n}{2}=\sqrt{\frac{(2a+n)^2}{4}}=\sqrt{a^2+an+n^2/4}\geq\sqrt{a^2+an}=\sqrt{a(a+n)}=\sqrt{ab}

Det andra likhetstecknet behöver motiveras, med att a och b är positiva (egentligen är ju x2=|x|\sqrt{x^2}=|x|).

ConnyN 820
Postad: 17 maj 2019

Tack för tips och pilarna har jag anat att jag borde lära mig mer om.
Det var ett intressant alternativ du gav, det tog en stund för mig att hänga med.

Bevis har varit en av de svårare delarna för mig. I gymnasiet för snart 50 år sedan hoppade jag helt enkelt över allt vad bevisföring hette och klarade mig bra på att kunna använda färdiga formler.
Nu börjar det kännas som att jag öppnar en ny dörr till en annan värld. Dörren är som en jättetung stor gammal kyrkport, men jag anar en otroligt vacker värld innanför.

Tack för uppmärksamheten.

Nu börjar det kännas som att jag öppnar en ny dörr till en annan värld. Dörren är som en jättetung stor gammal kyrkport, men jag anar en otroligt vacker värld innanför.

Du är en riktig poet! Jag älskar det.

Albiki 3912
Postad: 17 maj 2019 Redigerad: 17 maj 2019

Hej!

Tyvärr är det du skrivit inte ett bevis av påståendet. Felet du gör är att du utgår från att olikheten är sann och resonerar dig fram till ett påstående som är sant. 

Vad du istället kan göra är att utgå från antingen det aritmetiska medelvärdet (a+b)/2 (a+b)/2 eller från det geometriska medelvärdet ab\sqrt{ab} och visa att olikheten råder. 

Ett tips är att studera uttrycket (b-a)2.(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2. Kan uttrycket någonsin vara negativt? Notera att kvadratrötterna är definierade eftersom talen aa och bb är icke-negativa. 

ConnyN 820
Postad: 17 maj 2019
Albiki skrev:

Hej!

Tyvärr är det du skrivit inte ett bevis av påståendet. Felet du gör är att du utgår från att olikheten är sann och resonerar dig fram till ett påstående som är sant. 

Vad du istället kan göra är att utgå från antingen det aritmetiska medelvärdet (a+b)/2 (a+b)/2 eller från det geometriska medelvärdet ab\sqrt{ab} och visa att olikheten råder. 

Ett tips är att studera uttrycket (b-a)2.(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2. Kan uttrycket någonsin vara negativt? Notera att kvadratrötterna är definierade eftersom talen aa och bb är icke-negativa. 

OK jag inser att jag har mycket att lära just på bevissidan. Jag ska repetera en del avsnitt och så får jag kanske återkomma med frågor när jag fördjupat mig ytterligare.

Jag tar gärna emot förslag under tiden.

ConnyN 820
Postad: 18 maj 2019

Det blev lite förvirrande nu.
Med haraldfreijs kommentar och tillägg så verkar mitt bevis att vara rätt, men gäller det även för Albiki?

Dvs. Det Albiki skriver   medför att haraldfreijs kommentar gör att beviset håller eller

Det Albiki skriver är sant haraldfreijs ändring gör att beviset håller.

Ett försök av mig att förstå vad pilarna betyder. Om det nu är så att beviset inte håller ska jag då använda symbolen ¬  eller överstruket =? (Hittade inget överstruket = i formelskrivaren)

Albiki 3912
Postad: 18 maj 2019

Hej!

Följande implikation är sann.

    a>0a+1>0a>0\implies a+1>0.

Följande implikation är falsk.

    a+1>0a>0a+1>0\implies a>0.

Varför? Därför att det finns negativa tal aa sådana att a+1>0.a+1>0.

ConnyN 820
Postad: 18 maj 2019
Albiki skrev:

Hej!

Följande implikation är sann.

    a>0a+1>0a>0\implies a+1>0.

Följande implikation är falsk.

    a+1>0a>0a+1>0\implies a>0.

Varför? Därför att det finns negativa tal aa sådana att a+1>0.a+1>0.

I den falska implikationen säger vi att a+1>0  Om a är ett negativt heltal så stämmer det ej, men om -1<a<0 så gäller det fortfarande och då stämmer inte att a>0

Har jag fattat rätt så långt?

Albiki 3912
Postad: 18 maj 2019

Ja, det stämmer. Bra att du noterade att det spelar roll vilka tal aa som kan komma ifråga. Vill man vara mer korrekt, som du är, använder man den så kallade allkvantorn \forall från predikatlogik för att indikera vilka tal som kan komma ifråga. 

    a  (a>0a+1>0).\forall\, a\in \mathbb{N}\quad (a>0\implies a+1>0).

    a  (a+1>0a>0).\forall\, a\in\mathbb{R}\quad(a+1>0\implies a>0).

Albiki 3912
Postad: 18 maj 2019

Påståendet som du vill bevisa i denna tråd skrivs noggrant som

    a[0,)b[0,)  (ab(a+b)/2).\forall\,a\in[0,\infty)\,\forall\,b\in[0,\infty)\quad(\sqrt{ab}\leq (a+b)/2).

ConnyN 820
Postad: 18 maj 2019

Så här långt hänger jag med. Det ingick mängdlära i årskurs 1 på gymnasiet i början av 70-talet plus att jag nu har en modernare bok "Introduktion till högre studier i Matematik" av Robert Johansson och Lars-Daniel Öhman.

Den har jag ännu inte hunnit börja på. Tanken är att jag först ska repetera matte 4 och matte 5.

Tack för att du förklarar begreppen och jag hoppas att du om det är möjligt visar hur jag borde ha skrivit även om haraldfreijs förslag verkar att vara OK för mig.

Facit i boken har ett annat förslag som är fullt begripligt, men jag blev nyfiken på om mitt förslag höll som bevis.

Albiki 3912
Postad: 18 maj 2019 Redigerad: 18 maj 2019

Du studerar två fall: a=ba=b och ab.a\neq b. 

Fall 1. Om a=ba=b så är

    ab=a2=|a|=a\sqrt{ab} = \sqrt{a^2} = |a| = a

eftersom a0a\geq 0 och vidare är

    (a+b)/2=2a/2=a.(a+b)/2 = 2a/2 = a.

Den sanna olikheten aaa\geq a är i detta fall samma sak som

    ab(a+b)/2\sqrt{ab} \geq (a+b)/2

vilket du ville visa, men den är även samma sak som

    (a+b)/2ab(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}

vilket du inte ville visa. Detta indikerar att din grundidé kan leda till missvisande resultat.

Fall 2. Om aba\neq b så finns det ett tal nn (positivt eller negativt) sådant att b=a+nb=a+n och då är

    ab=a2+an\sqrt{ab} = \sqrt{a^2+an} och (a+b)/2=(2a+n)/2=a+0.5n.(a+b)/2 = (2a+n)/2 = a+0.5n.

Det gäller för dig att visa att

    a2+ana+0.5n.\sqrt{a^2+an} \leq a+0.5n.

Om du kvadratkompletterar uttrycket a2+ana^2+an så får du

    (a+0.5n)2-0.25n2(a+0.5n)^2-0.25n^2

vilket visar att

    a2+an(a+0.5n)2a^2+an \leq (a+0.5n)^2

med likhet precis då a+0.5n=0.a+0.5n=0.

ConnyN 820
Postad: 18 maj 2019

Hemskt mycket tack!

Det var verkligen en nyttig och bra genomgång.

Svara Avbryt
Close