Har Anders rätt?

Vinkeln v har sinus-värdet sin v. Vilket sinus-värde har vinkeln 2v? (Använd formeln för dubbla vinkeln.) Kan detta värde vara 2*sin v? För vilket (eller vilka) värden på v fungerar det, om det går?

Kan du uttrycka sambandet i form av en ekvation?

Inte riktigt. 

sin 2 v = 2 gånger sin(v)cos(v)

Då har du alltså ekvationen $2 · \sin v = \sin 2v$, som Anders påstår saknar lösning. Du kan skriva om HL så att du får $2 · \sin v = 2 \sin v \cos v$. Skriv om så att HL blir = 0 och faktorisera.

Sådana här uppgifter är jag ovan med. Måste träna mer på. 

2sinv= sin2x

2sinv - sin2x= 0

sin(2v - 2x)= 0

hur ska jag gå tillväga med detta? 

Ska man hitta på några egna värden? 

Till att börja med så måste du veta att vi har en vinkel v och sedan vill ta reda på något om en vinkel 2v.

D.v.s. $2sin(v)=sin(2v)$. Notera att det är samma variabel v!

Sedan gäller inte att $sin(2v)-sin(2x)=sin(2v-2x)$. 

Kan man ta vilken vinkel som helst inom 0-90 grader? 

sin(2v - 2x) =

sin2(v) cos 2(x)  - cos 2(v) sin 2(v)

Anders påstår att ekvationen

sin(2x) = 2*sin(x) saknar lösning.

Din uppgift är att ta reda på om det är sant.

Eftersom sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x) enligt formeln för dubbla vinkeln så kan du skriva ekvationen som

2*sin(x)*cos(x) = 2*sin(x)

Dividera båda led med 2:

sin(x)*cos(x) = sin(x)

Subtrahera sin(x) från båda sidorna:

sin(x)*cos(x) - sin(x) = 0

Du har en gemensam faktor sin(x) i de båda termerna i vänsterledet. Den kan brytas ut:

sin(x)*(cos(x) - 1) = 0

Kan du lösa denna ekvation?

Tips: Nollproduktsmetoden.

Päivi skrev :

sin(2v - 2x) =

sin2(v) cos 2(x)  - cos 2(v) sin 2(v)

Nej du gjorde fel när du fick fram sin(2v - 2x).

Börja om från början med hjälp av mitt eller Smaragdalenas tips  (de är samma).

Ska jag ta reda på om cos värdet nu, vad cos är, när den är 1?

cos 1 = 0

Om sin(x) är noll så är den noll 

mun har vi cos i det andra som är 1 och då är den noll. 

Ekvationen lyder

sin(x) * (cos(x) - 1) = 0

För att likheten ska gälla så måste

Antingen sin(x) vara lika med 0 eller cos(x) - 1 vara lika med 0 (eller båda).

Om sin(x) = 0 så är x = n*180°

Om cos(x) -1 = 0 så är x = n*180°

Ekvationen är alltså uppfylld för alla vinklar x = n*180°. Pröva några sådana vinklar i ursprungsekvationen och kontrollera att det stämmer.

Vad kan du dra för slutsats, hade Anders rätt eller fel?

Japp det stämmer, men tänk på att då cos(x) = 1 så måste sin(x) = 0 vilket följer av trigonometriska ettan. Så de vinklar x som är lösningar för ekvationen är alltså de då sin(x) = 0. Eftersom du vet att denna ekvation har lösningar, så kan du nog också svara på om Anders har rätt.

Sin(x)= 0 så är den noll

den är lika mycket noll även vid 180 grader. Om cos är 1, så är den noll. 

Hur ska jag svara på detta?

Anders hade fel. 

Ja, Anders hade fel.

Ge ett exempel på en vinkel som uppfyller villkoret.

Jag håller på skriver i blocket allt detta än. Sedan ska jag prova. 

Har inte hunnit med detta än. Kommer snart göra detta.  Jag kommer ta upp det här 

Ska jag sätta någon grad i sin (x)?

Det spelar ingen roll vad man tar. Det blir samma sak ändå. 

Man kan ta ex 30 som vinkel. Det blir samma sak, vad man än tar. 

Nej du kan inte ta 30, då har du ju att sin(30) = 1/2 och $\sin \left(60\right) =\hspace{0.17em}\sqrt{3}/2$ eftersom det senare inte är dubbelt så stort som 1/2 så kan du inte ta den vinkeln.

Jag kan ta sin(15)

sin(15) = 1/4

sin(30)= 1/2

här är den dubbelt så stor. 

Nej det kan du inte. Du har ju räknat fram alla lösningar till ekvationen, det är endast dessa som det kommer fungera för!

Det gäller inte att sin(15) = 1/4, utan $\sin \left(15\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\approx 0.26$, så sin(30) är inte dubbelt så stor som detta.

Varifrån får du roten ur 3-1 ifrån?

och sedan 2 roten ur 2 ifrån? 

sin(75)

och 

sin(150)

Nej, det vet jag inte. 

Kan det vara 90 grader och 180 grader

Man vet att

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left(30\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\cos (2*15)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}2{\cos }^2\left(15\right) - 1$

Man kan nu lösa ut att

${\cos }^2\left(15\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+2}{4}$

Sedan så får man att

${\sin }^2\left(15\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1 - {\cos }^2\left(15\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1 - \frac{\sqrt{3}+2}{4}=\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Nu vet man att sin(15) > 0 så man får att

$$\begin{gathered} \sin \left(15\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{8}}=\sqrt{\frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{8}} \\ =\sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1{)}^2}{8}}=\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Men notera att detta är helt irrelevant egentligen, vi vet att det inte gäller att 2sin(15) = sin(30) oavsett om vi kan räkna ut vad sin(15) är eller ej. Detta eftersom vi vet att det inte är en lösning till ekvationen 2sin(x) = sin(2x).

Du har ju kommit fram till att det ska gälla att sin(x) = 0, denna ekvation har lösningarna $x =\hspace{0.17em}180°n$, så det är för dessa vinklar det gäller för.

Hej!

Finns det en vinkel ($v$) som är sådan att

    $\displaystyle \sin 2v = 2\sin v$?

Detta är samma sak som att $2\sin v \cos v = 2\sin v\ ,$ som du också kan skriva som

    $\displaystyle 2\sin v \cdot (1-\cos v) = 0.$

Detta betyder att antingen är $2\sin v = 0$ eller så är $1-\cos v = 0\ ,$ det vill säga antingen är vinkeln $v$ sådan att $\sin v = 0$ eller så är $\cos v = 1\ .$

Du ser att antingen så är vinkeln $v = 0^\circ$ eller så är $v =180^\circ.$

Stämmer svaret? En kontrollräkning visar att $\sin 2\cdot 0^\circ = 0$ och $2\sin 0^\circ = 0$, samt att $\sin 2\cdot 180^\circ = \sin 360^\circ = 0$ och $2\sin 180^\circ = 2\cdot 0 = 0.$

Albiki 

Nu förstår jag det hela. Man får titta på enhets cirkeln. 

Det var inte lätt uppgift, när man inte är riktigt van vid det.