Har jag förstått begreppet "filter" korrekt?

Hej!

Jag håller på att läsa på lite om det mängdteoretiska objektet filter med målet att förstå hur man konstruerar de hyperrella talen ur följder i $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ . Jag har försökt internalisera definitionerna av några olika filterbegrepp och undrar om jag har förstått dem rätt. Det är för det mesta definitioner så jag bara listar dem i någon ordning:

Låt $I$ vara en mängd och låt $\mathcal{P}\left(I\right)$ beteckna potensmängden av $I$ . Vi säger att en icke-tom mängd $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}\left(I\right)$ är ett filter på $I$ om och endast om

$\displaystyle A,B\in\mathcal{F} \Longrightarrow A \cap B\in\mathcal{F}$
$\displaystyle A\in\mathcal{F} \;\text{och}\;A\subseteq B\subseteq I \Longrightarrow B \in \mathcal{F}$

Vidare är $\mathcal{F}$ är ett äkta filter på $I$ om det inte innehåller tomma mängden. Det innehåller tomma mängden om och endast om det är hela potensmängden.

Låt $\mathcal{H}\subseteq I$ . $\mathcal{F}^{\mathcal{H}}$ kallas för principalfiltret som genereras av $\mathcal{H}$ och definieras som

$\displaystyle \mathcal{F}^{\mathcal{H}} :=\{A\subseteq I:\mathcal{H}\subseteq A \}$

$\mathcal{F}$ är ett ultrafilter på $I$ om och endast om det är ett äkta filter och det gäller att det för varje mängd $A\subseteq I$ gäller antingen att $A\in \mathcal{F}$ eller $A^c \in \mathcal{F}$ .

$\mathcal{F}$ är ett Fréchetfilter på $I$ om och endast om det är mängden av alla $A\subseteq I$ sådana att $I \setminus A$ är ändlig.

Vet inte vad du tänkt att ha filtren till, men jag har stött på dem i Allmän Topologi. Man vet att i en topologi med uppräknelig bas så kan de slutna mängderna definieras som de mgder som man inte kan komma ur med konvergenta följder. Med de slutna mängderna klara får vi de öppna mängderna som komplement. Alltså blir då hela topologin känd.
Men om vi inte har uppräknelig bas så har vi två vägar att välja mellan: Nät eller just Filter enl din beskrivning. Man behöver definiera vad som menas med att ett filter Konvergerar/har en hopningspt.
Detta var lite av igenkännandets glädje, men de flesta brukar (tyvärr?) föredra nät, eftersom dessa har större likheter med följder. Dock väljer man den vägen så minns jag att man fick en del obehagliga överraskningar.

Jag vill använda dem för att förstå hur man konstruerar de hyperreella talen $\displaystyle {\text{}}^{*} \mathbb{R}$ på sättet som beskrivs i t.ex. Goldblatts Lectures on the Hyperreals.

Jag ville bara se att jag hade fattat de olika begreppen rätt eftersom de inte presenteras i en överskådlig ordning i boken, men jag tolkar det som om jag har det eftersom du inte verkade ha några invändningar?

De definitioner du angett strider inte mot de som jag har. Du lär därutöver behöva def på konvergens och hopningspunkt.Längesen nu, men jag tror det var så här:

Konvergens: Varje omgivning är en filtermängd

Hopningspunkt:: Varje omgivning har icke-tomt snitt med varje filtermgd..

Svara

Visa senaste svar