Samlingstråd: härledning av formler för tröghetsmoment

Detta är en samlingstråd där formler för tröghetsmoment för olika figurer, såväl två- som tredimensionella, härleds och presenteras. Vill man lägga till ett bidrag är det bara att börja skriva och lägga upp det!

Nedan följer mitt första bidrag för tröghetsmomentet på en cylinder med likformigt fördelad massa $m$, basradie $R$ och höjd $H$.

Låt området $\displaystyle A:=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\le R^2, 0\le z\le H \}$ definiera en sådan cylinder med radie $R$ och höjd $H$. Vidare införs densiteten $\rho := \frac{m}{\pi R^2 H}$. Vi säger då att cylinderns tröghetsmoment med avseende på $z$-axeln ges av:

$\displaystyle I_z=\iiint_A \rho r\left(x,y\right)^2dV$

För att röra oss över hela området kör vi på vanligt vis:

$\displaystyle I_z=\rho\int_{z=0}^{z=H}\left(\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=R}r^3 dr\right)d\theta\right)dz=\frac{2\pi\rho R^4}{4}\int_{z=0}^{z=H}dz=\frac{2\pi \rho HR^4}{4}=\frac{mR^2}{2}$

Så tydligen har en cylinder samma tröghetsmoment med avseende på $z$-axeln som en cirkel hade haft. Coolt!