Härleda lösningar till homogena ekvationer

Hur lyder uppgiften? Vad används formeln till?

Handlar det om lösningen till en allmän linjär homogen differentialekvation av andra ordningen?

Om jag får gissa så tror jag att $R$ bara är en konstant, och alltså borde den integrerande faktorn bli $e^{-2Rx}$, men jag kan inte säga om det stämmer utan att se hela uppgiften.

AlvinB skrev:

Hur lyder uppgiften? Vad används formeln till?

Tack för hjälpen!

Efter en härledning av formeln för lösningar av andraordningen differential ekvation med två olika rötter, var uppgiften att härleda samma sak för en dubbel rot.

Handlar det om lösningen till en allmän linjär homogen differentialekvation av andra ordningen?

Ja.

Om jag får gissa så tror jag att $R$ bara är en konstant, och alltså borde den integrerande faktorn bli $e^{-2Rx}$, men jag kan inte säga om det stämmer utan att se hela uppgiften.

Jag har inte försökt med den I.F, jag ska försöka lite senare :)

dajamanté skrev:

AlvinB skrev:

Hur lyder uppgiften? Vad används formeln till?

Tack för hjälpen!

Efter en härledning av formeln för lösningar av andraordningen differential ekvation med två olika rötter, var uppgiften att härleda samma sak för en dubbel rot.

Handlar det om lösningen till en allmän linjär homogen differentialekvation av andra ordningen?

Ja.

Om jag får gissa så tror jag att $R$ bara är en konstant, och alltså borde den integrerande faktorn bli $e^{-2Rx}$, men jag kan inte säga om det stämmer utan att se hela uppgiften.

Jag har inte försökt med den I.F, jag ska försöka lite senare :)

 Nu blev det lite klarare!

Det har faktiskt även blivit fel innan integreringsfaktorn, mer specifikt här:

Eftersom $R^2+aR+b=0$ med en dubbelrot (vilket var givet) vet vi att dubbelroten måste bli $R=-\frac{a}{2}$. Detta kommer att göra att $z$-termen blir noll, men även $z'$-termen. Då blir man kvar med endast $z''$ i vänsterled:

$z''=0$

Om du löser denna kommer du att få rätt värde på $z$.

AlvinB skrev:

Eftersom $R^2+aR+b=0$ med en dubbelrot (vilket var givet) vet vi att dubbelroten måste bli $R=-\frac{a}{2}$.

Ok, nästan med. Varför igen gäller detta?

dajamanté skrev:

AlvinB skrev:

Eftersom $R^2+aR+b=0$ med en dubbelrot (vilket var givet) vet vi att dubbelroten måste bli $R=-\frac{a}{2}$.

Ok, nästan med. Varför igen gäller detta?

 PQ-formeln ger ju:

$\displaystyle R=-\frac{a}{2}\pm \sqrt{(\frac{a}{2})^2-b}$

Den enda möjligheten för ekvationen att bara ha en rot (alltså en dubbelrot) är om kvadratrotsdelen är noll. Då blir roten:

$\displaystyle R=-\frac{a}{2}$

Gud just det, varför har jag frågat??

Och eftersom den finns bara $z''$ kvar, den bli $Cx+D$ efter två integrationer.

Tack för att du orkade gå igenom min flugaanteckningar!