11 svar
135 visningar
victoriagu 8
Postad: 24 jul 2020

Hej, jag behöver finna heltalslösningarna till ekvationen x^4 − 2^5x^2 + 9 = 0

Hej,

Jag vet inte riktigt hur jag börjar denna uppgift. Är osäker på vilket tal jag ska börja med att faktorisera. 

Har försökt gissa mig till en rot för att sedan göra en polynomdivison men när jag kommer dit så vet jag inte heller vilket tal jag ska dividera x^4 − 2^5x^2 + 9 = 0 med. 

All hjälp är jag tacksam för! :)

tomast80 3031
Postad: 24 jul 2020

Enklast är nog att sätta t=x2t=x^2 och lösa andragradsekvationen uttryckt i tt.

victoriagu 8
Postad: 24 jul 2020

Jag vet fortfarande inte riktigt hur jag ska börja. t(t-2^5)+9=0?

Micimacko 1092
Postad: 24 jul 2020

Om bara heltal är intressanta borde det väl räcka med att rita och se vad man borde gissa på?

Laguna 9187
Postad: 24 jul 2020

Använd pq-metoden.

larsolof 2027 – Mattecentrum-volontär
Postad: 24 jul 2020 Redigerad: 24 jul 2020

Står det    x4 -  25 · x2 + 9    =    x4 - 32x2 + 9    =    0     ?

I så fall finns det inga heltalslösningar

Yngve 16421 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 24 jul 2020 Redigerad: 24 jul 2020

Generellt sett gäller att om polynomet p(x)p(x) har nollstället x=x0x=x_0 så är x-x0x-x_0 en faktor i p(x)p(x) och p(x)p(x) kan då faktoriseras enligt p(x)=(x-x0)·q(x)p(x)=(x-x_0)\cdot q(x), där q(x)q(x) är ett polynom vars gradtal är ett lägre än gradtalet hos q(x)q(x).

Du kan då bestämma q(x)q(x) till exempel med hjälp av polynomdivision q(x)=p(x)x-x0q(x)=\frac{p(x)}{x-x_0}.

---------

Men denna ekvation saknar som sagt heltalslösningar, vilket tyder på att något inte stämmer. Kan du ladda upp en bild av uppgiften?

Någon har troligen skrivit fel tecken mellan 2 och 5

Så här gissar jag att talet ska skrivas:          x4 - 2·5x2 + 9 = 0

Då finns fyra heltalslösningar 

Visa spoiler

-3   -1   1   3

victoriagu 8
Postad: 25 jul 2020

Hej, 

Tack för att ni försöker hjälpa mig. Det stämmer att det inte finns några heltalslösningar men jag har svårt att komma fram till det resultatet. 

Här är en Bild på uppgiften om det hjälper.

Yngve 16421 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 25 jul 2020 Redigerad: 25 jul 2020

Ekvationen lyder x4-32x2+9=0x^4-32x^2+9=0.

Gör så här:

  • Sätt t=x2t=x^2. Då kan ekvationen skrivas t2-32t+9=0t^2-32t+9=0
  • pq-formeln ger dig lösningarna t=16±162-9t=16\pm\sqrt{16^2-9}, dvs t1=16-247t_1=16-\sqrt{247} och t2=16+247t_2=16+\sqrt{247}
  • Eftersom x=±tx=\pm\sqrt{t} så är x1=-16-247x_1=-\sqrt{16-\sqrt{247}}, x2=-16+247x_2=-\sqrt{16+\sqrt{247}}, x3=16-247x_3=\sqrt{16-\sqrt{247}} och x4=16+247x_4=\sqrt{16+\sqrt{247}}
Jroth 798
Postad: 26 jul 2020 Redigerad: 26 jul 2020

Det är faktiskt möjligt att avgöra om en polynomekvation med heltalskoefficienter verkligen har heltalsrötter genom en prövning av ett ganska begränsat antal möjligheter.

Det kallas rationella rotsatsen.

I det här fallet ska en rationell rot st\frac{s}{t} uppfylla s|9s|9 och t|1t|1. Dessutom kan vi på grund av kvadraterna strunta i negativa möjligheter.

I det här fallet är därför heltalen 9,3 och 1 de enda möjliga rationella rötterna till ekvationen vi behöver pröva. Okulär inspektion gör klart att ingen av dem uppfyller ekvationen.

Alltså saknar ekvationen heltalslösningar. Faktum är att ekvationen saknar rationella rötter.

victoriagu skrev:

Hej, 

Tack för att ni försöker hjälpa mig. Det stämmer att det inte finns några heltalslösningar men jag har svårt att komma fram till det resultatet. 

Här är en Bild på uppgiften om det hjälper.

Finns det ett facit till uppgiften, och vad står det i facit?

Svara Avbryt
Close