Heuristisk härledning av Jakobianen - varifrån kommer du?

Varifrån kommer vektorn $(du, 0)$?

• Man står i någon startpunkt $(u, v)$ och man går mot slutpunkten $(u+du, v)$.
  
  

Hur ska då vektorn $(du, 0)$ avbildas under transformationen?

• Man transformerar startpunkten och slutpunkten och man bildar en vektor däremellan. Transformerade startpunkten blir $( f(u,v), g(u,v))$ och transformerade slutpunkten blir $( f(u+du, v), g(u+du, v))$.
• När man nu tittar på $x$-komponenten av differensen av dessa två punkter, så får man $f(u+du,v) - f(u,v) \approx f^\prime_u(u,v) \,du=\frac{\partial x}{\partial u}\,du$ enligt partiella derivatans definition.
• När man nu tittar på $y$-komponenten av differensen av dessa två punkter, så får man $g(u+du,v) - g(u,v) \approx g^\prime_u(u,v) \,du=\frac{\partial y}{\partial u}\,du$ enligt partiella derivatans definition.

Tack så mycket, nu hänger jag med! Jag kom att tänka på en sats ur icke-standardanalysen som jag vill minnas att jag har läst. Låt $du$ vara någon infinitesimal och antag att $f^\prime_u\left(u,v\right)$ existerar i någon punkt $(u,v)$. Då är $f\left(u+du, v\right)-f\left(u,v\right)$ också infinitesimal (eller noll), och vi har för någon infinitesimal $\varepsilon$, som beror på $u$, $v$ och $du$:

$\displaystyle f\left(u+du,v \right)-f\left(u,v\right)=f^\prime_u(u,v)du+\varepsilon du$

Bara något jag kom att tänka på. Sett ur det perspektivet blir det mycket rimligt att vi har "nästan lika med"; eftersom både $\varepsilon$ och $du$ är infinitesimaler blir produkten $\varepsilon du$ så liten att den i princip är försumbar.

Tillägg: 10 aug 2025 16:09

Eller, nu när jag tänker efter tror jag att jag bara har sett satsen i det envariabla fallet men det känns ganska naturligt att detta borde stämma också.

Man kan eventuellt också åberopa (Lagrange)medelvärdessatsen från envarren, vilket ger:

$f(u+du, v) - f(u,v) = f^\prime_u(\eta, v)\,du$ där $\eta$ ligger någonstans mellan $u$ och $u+du$

Om man använder sig av Darbouxs definition av Riemannintegralen (d.v.s. via översummor och undersummor som närmar sig till varandra när områdets indelning förfinas), så blir det oväsentligt att matriselementen i jacobianen beräknas i lite olika punkter (förutsatt att $T \in \mathcal{C}^1$ och de första partiella derivatorna är likformigt kontinuerliga)

Vi kan väl till och med gå steget längre som i #3 och visa att det faktiskt gäller exakt om vi har tillgång till icke-standardanalys. Givet $x=f(u,v)$ samt $y=g(u,v)$ har vi att våra vektorer i $uv$-planet avbildas på:

$\displaystyle \mathbf{e}_u=\left(\frac{\partial x}{\partial u}du+\varepsilon_1du,\frac{\partial y}{\partial u}du+\varepsilon_2du \right)$

$\displaystyle \mathbf{e}_v=\left(\frac{\partial x}{\partial v}dv+\varepsilon_3dv,\frac{\partial y}{\partial v}dv+\varepsilon_4dv \right)$

Så areaelementet borde alltså kunna skrivas:

$\displaystyle dydx=\left(\frac{\partial x }{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y }{\partial u}+L\left(\varepsilon\right)\right)dudv$

där $L(\varepsilon)$ är något uttryck i de infinitesimaler som följde med genom beräkningarna. 

Vi kan alltså säga att:

$\displaystyle \frac{dydx}{dudv}\approx \frac{\partial x }{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y }{\partial u}\Longrightarrow \mathrm{st}\frac{dydx}{dudv}= \frac{\partial x }{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y }{\partial u}=J\left(u,v\right)$

Vi tar alltså bokstavligen en kvot mellan areaelementet i $xy$-världen och $uv$-världen och får ut en skalningsfaktor. Sedan kan vi ta standarddelen av denna för att bli av med infinitesimalerna och har då Jacobianen. Hur man ska motivera att vi vill ta bort infinitesimalerna vet jag inte riktigt. Det är ju rimligt att vi vill att en skalningsfaktor ska vara ett reellt tal.

Jag har sovit lite på saken och jag tror jag begriper varför Jacobianen ges av att ta standarddelen av areakvoten. Jacobianen är ju lokal för en punkt, och när vi gör infinitesimala inkrement är vi inte längre i samma punkt. Då är det rimligt att kvoten ger Jacobianen plus ett infinitesimalt fel.

Tillägg: 11 aug 2025 13:44

Även om det känns lite motsägelsefullt att Jacobianen bara gäller i en punkt eftersom det intuitivt är en skalning av areor.

Hej igen!

Jag undrar om man kan generalisera resonemanget i #2 med en vektorvärd funktion $\mathbf{r}$ istället för att hålla på med två funktioner $f$ och $g$? Låt $\mathbf{r}$ vara en vektorvärd funktion sådan att $\mathbf{r}(u,v) = x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}$. Då mappas $(du, 0)$ på $\mathbf{r}\left(u+du, v\right)-\mathbf{r}\left(u, v\right)$ och $(0,dv)$ på $\mathbf{r}\left(u, v+dv\right)-\mathbf{r}\left(u, v\right)$ och vi har:

$\displaystyle dydx\approx \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|dudv$

Fungerar detta också? Det känns som ett mer "generaliserat" sätt att föreställa sig det hela på.

bump

Ja, uttrycket stämmer för två och tre dimensioner under förutsättning att du lägger till en dimension till $\mathbf{r}$ så att kryssprodukten blir giltig om det behövs. Då gäller ju till exempel för två dimensioner att

$\displaystyle \left|(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},0)\times(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},0)\right|=\left| \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right|=\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$

Vilket är den korrekta skalfaktorn. Notera hur vi la till "z=0" i vektorerna. Det gäller alltså för två och tre dimensioner att

$\displaystyle \int_S\phi\,\mathrm{d}S=\iint_D\phi[\mathbf{r}\left(u,v\right)]\left|\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right)\right|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

Där det är tänkt att $\phi$ ska föreställa ett kontinuerligt skalärt fält. Sätter du $\phi=1$ får du arean av ytan.

Man kan ställa upp liknande uttryck för andra ytintegraler, till exempel $\int_S\phi\,\mathrm{d}\mathbf{S}$.

Om du vill generalisera till högre dimensioner måste du fundera över hur du ska generalisera kryssprodukten och/eller använda en annan kontext, jmfr till exempel yttre produkt och differentialformer eller bivektorer.

Vad skulle hända om vi använde en parametrisering med tre parametrar istället för två? Hur skulle vårt uttryck för ytelementet se ut då, menar jag? Då har vi istället tre partiella derivator, så vi kan ju inte bara kryssa.

Även i tre dimensioner parametriseras en tvådimensionell yta av två parametrar. Den ligger liksom "inbäddad" i $\mathbb{R}^3$. Jämför ytan till en sfär med radien $r$, centrum i Origo. Varje punkt på ytan till sfären nås av

$\displaystyle \mathbf{r}\left(\theta,\varphi\right)=\left(r\sin\left(\theta\right)\cos(\varphi),r\sin\left(\theta\right)\sin\left(\varphi\right),r\cos(\theta)\right)$

Om du använder tre parametrar är det mer troligt att du arbetar med en volym av något slag. Då ges volymskalan för avbildningen av

$\displaystyle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_1}\cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_2} \times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_3}\right)=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u_1} && \frac{\partial x}{\partial u_2} && \frac{\partial x}{\partial u_3} \\\frac{\partial y}{\partial u_1} && \frac{\partial y}{\partial u_2} && \frac{\partial y}{\partial u_3} \\\frac{\partial z}{\partial u_1} && \frac{\partial z}{\partial u_2} && \frac{\partial z}{\partial u_3}\end{vmatrix}$

Det är alltså volymen av den infinitesimala parallellepipeden. För den skalära trippelprodukten gäller att du får permutera cykliskt. Kastar du om till en udda permutation byter den tecken (detsamma gäller såklart determinanten). Återigen är uppräkningsordningen viktig. Man vill oftast ordna det så att koordinatsystemet $(u_1,u_2,u_3)$ bildar att högersystem (dvs man vill hålla funktionaldeterminanten positiv)

Är det alltid möjligt att parametrisera en yta i tre dimensioner med två parametrar?

Ja, åtminstone lokalt. Enligt den vanligaste definitionen${}^*$ är en yta en 2-dimensionell differentierbar mångfald (dvs. ett rum som lokalt ser ut som $\mathbb{R}^2$) som ligger liksom inbäddad i $\mathbb{R}^3$. Då kan man alltid parametrisera ytan. Faktum är att man ibland definierar vad en yta är genom att förklara vilka parameterframställningar som är tillåtna.

En global parameterframställning kan vara svårare att hitta, då måste man kanske nöja sig med att skapa en samling överlappande kartor som täcker ytan. Om vi tittar på parameterframställningen för sfären ovan så ser vi att dess normal blir $0$ vid polerna. Det betyder att Jakobianen för parameterframställningen (och därmed transformationen) är noll där! Och som vi kommer ihåg från kursen i flervariabelanalys händer HEMSKA SAKER med vår koordinattransformation (vår bijektiva avbildning) när Jakobianen är noll. Nu är det ju inte så att det egentligen händer något konstigt med just sfären vid polerna. Vi får ju använda vilka punkter som helst som poler. I just det fallet är det alltså en artefakt av vår valda parameterframställning. Ett problem vi löser med överlappande transformationer (eller bara inte låtsas som, som i flervariabelanalysen när man byter till sfäriska koordinater i vissa integraler)

Vidare finns andra tänkbara krav att ställa på en yta. Kanske måste ytan ha två sidor eller en kontinuerlig normal i alla punkter? Ett exempel på en ensidig yta är en såkallad Möbiusremsa.

${}^*$ _{Det finns andra mer liberala definitioner av vad en yta är}