Hitta lösningen utan att lösa den?

Det är nog lättare än du tror.

Du har ju värdena på $x_{1}och x_2$

Nu adderar du först de två värden du har.

I uppgift 2 ska du multiplicera de med varandra.

Du har missuppfattat min poäng. Jag funderar på meningen "Without solving the equation, find the value of..." Hur ska man kunna göra det? 

Om

$x^2+px+q=0$

så är summan av rötterna given av p:

$x_1+x_2 = -p$

och produkten av rötterna given av q:

$x_1x_2=q$

Om du istället vill ha andragradsekvationen på formen 

$ax^2+bx+c=0$

så är p = b/a och q = c/a.

Korra skrev:

Du har missuppfattat min poäng. Jag funderar på meningen "Without solving the equation, find the value of..." Hur ska man kunna göra det? 

Titta på Dr.G:s förklaring. Den kommer du fram till om du provar att lösa pq-formeln utan att stoppa in värdena.

Det hade jag ingen aning om, men det leder ju också till att det räckte med min lösning dvs. man menar att du sätter in värdena utan att ta fram de slutgiltiga värdena.

Vi får tacka Dr.G som hjälpte oss till djupförståelsen av det.

För ytterligare utökad förståelse så visar jag här hur sambanden ovan enkelt kan härledas:

Om $x^2+px+q$ har nollställen $x_1$ och $x_2$ så gäller att polynomet kan faktoriseras enligt $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$.

Om vi nu multiplicerar ihop högerledets faktorer igen så får vi $x^2+px+q=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$.

Om vi nu identifierar koefficienterna i VL och HL så får vi fram de sökta sambanden

• $-(x_1+x_2)=p$
• $x_1x_2=q$

Metoden fungerar även för polynom av högre grad, t.ex.

$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

$ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3$

ur vilket vi får:

$\{\begin{matrix}-\dfrac{b}{a}=x_1+x_2+x_3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \dfrac{c}{a}=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\\-\dfrac{d}{a}=x_1x_2x_3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}$

Det går alltså att hitta formler utifrån alla koefficienter i ett polynom. Detta kallas Viètes formler.