Hitta Primitiv funktion

Kan du skriva om 

5^-x = e^(något)

?

Försökte det på olika sätt men fick inte till det.

Jag tycker det är (e(^ln5))^-x.

E^ln5(-1)X.

Nästan! Det har blivit lite fel. Riktigt gäller det att:

$\displaystyle 5^{-x}=e^{-x\ln5}$

och detta kan du säkerligen derivera!

Men skrev jag inte så? :p

Jag är osäker om negativa tecknet ska med eller inte.

Antingen -ln5e^-xln5

Eller ln5e^-xln5.

Fast i och med kedjeregeln så är det förmodligen den första, att det negativa ska med.

Så då måste man ha ett minustecken redan för att det ska bli positivt. Så -(e^-xln5)/ln5

Det gäller att e^ln5(-1)x = $e^{\ln 5} \cdot-x$, om man tolkar det "generöst". Du måste vara noggrann med paranteserna:

e^(ln(5)*(-x))

Hur som helst är din sista derivata rätt! Du kan förenkla svaret igen och då kommer du fram till nästan ditt ursprungliga svar:

$\displaystyle \int 5^{-x}\mathrm{d}x=-\frac{5^{-x}}{\ln 5}+C$

Okej, tack :)

En bra metod för att snabbt hitta en primitiv funktion är ofta att

1. Gissa på en primitiv funktion
2. Derivera gissningen
3. Jämför med urprungsfunktionen. Om det stämmer är du klar.
4. Korrigera gissningen vid behov.

Repetera steg 2, 3 och 4 tills du hamnar rätt.

I det här fallet:

Gissa på $F(x)=\frac{5^{-x}}{\ln(5)}$

Derivera (med hjälp av kedjeregeln): $F'(x)=\frac{5^{-x}}{\ln(5)}\cdot\ln(5)\cdot(-1)=-5^{-x}$

Jämför med ursprungsfunktionen: Stämmer sånär som på minustecknet.

Korrigera gissningen: $F(x)=-\frac{5^{-x}}{\ln(5)}$

Derivera: $F'(x)=-\frac{5^{-x}}{\ln(x)}\cdot\ln(5)\cdot(-1)=5^{-x}$

Jämför med ursprungsfunktionen: Allt stämmer.

Klart!

Okej, tack yngve 🙂