11 svar
57 visningar
Natascha 1099
Postad: 26 mar 2020

Hur bär jag mig åt i denna ekvation?

Hej! 

Jag skulle behöva lite stöd i för att lösa följande ekvation: 4cos2v9 = (sin2v)2

Jag börjar med att utveckla HL till följande: 4cos2v9 = 2sin(v)cos(v)2. Hur kan jag gå vidare härifrån? 

Skaft 464 – F.d. Moderator
Postad: 26 mar 2020

Ser ut som en bra start! Om du nu samlar allt på ena sidan, blir andra sidan noll. Lyckas du då faktorisera uttrycket kan du använda nollproduktmetoden.

Natascha 1099
Postad: 26 mar 2020

Då får jag: 4cos2(v)9 - 2sin(v)cos(v)2 = 0 och härifrån faktorisera VL. Lite osäker men kanske något i stil med: cos2v49 - 2sin2(v)?

Skaft 464 – F.d. Moderator
Postad: 26 mar 2020 Redigerad: 26 mar 2020

Ser toppenrimligt ut. Ekvationen är alltså

cos2(v)49-2sin2(v)=0 \cos^2(v)\left(\frac{4}{9} - 2\sin^2(v)\right) = 0

Kommer du ihåg nollproduktmetoden?

EDIT: Ändrar mig! Snudd på toppenrimligt. Vad händer med 2an i parentesen när du utvecklar 2sin(v)cos(v)2\left(2\sin(v)\cos(v)\right)^2?

Natascha 1099
Postad: 26 mar 2020

Vad kul! :) 

Då har vi: 

Fall1 som ger cos2(v) = 0 eller fall2 som ger 49 - 2sin2(v) = 0 och då ska jag väl se för vilka värden cos2(v) blir lika med 0 och detsamma gäller för fall2?

Skaft 464 – F.d. Moderator
Postad: 26 mar 2020 Redigerad: 26 mar 2020

Ja, du har approachen rätt nu, men vi tappade en detalj på vägen:

4cos2(v)9-2sin(v)cos(v)2=04cos2(v)9-22sin2(v)cos2(v)=0\frac{4\cos^2(v)}{9} - \left(2\sin(v)\cos(v)\right)^2 = 0 \\ \frac{4\cos^2(v)}{9} - 2^2\sin^2(v)\cos^2(v) = 0

Tvåan i parentesen blir alltså också kvadrerad! Så nu när vi bryter ut cos2v får vi

cos2(v)49-4sin2(v)=0\cos^2(v)\left(\frac{4}{9} - 4\sin^2(v)\right) = 0

Natascha 1099
Postad: 26 mar 2020 Redigerad: 26 mar 2020

Ajajajaj! Livsviktig detalj där! 

Om jag då börjar med fall1 dvs cos2(v) = 0 (nu kör jag i grader då) så blir det då vinklarna är 90 grader respektive 270 grader? Jag provade att skriva in i grafräknaren cos2(90) och cos2(270) och det slänger ut en nolla. Det blir väl svaren för fall1?

Tillägg: Nu blev jag lite osäker... Ska jag kanske skriva om det först som 1- sin2(v) = 0 och därefter lösa... Blev helt plötsligt lite osäker...

Ännu mer tillägg: Men nu kom jag på att det kanske är samma sak ifall jag löser det som cos^2(v) eller ifall jag skriver om det som 1- sin^2(v)

Skaft 464 – F.d. Moderator
Postad: 26 mar 2020 Redigerad: 26 mar 2020

Stämmer, men använd hellre enhetscirkeln för att resonera dig fram till såna lösningar. Cosinusvärdet motsvarar x-koordinaten i enhetscirkeln, så vilka vinklar pekar på en punkt där x=0? Jo, vinklar som pekar antingen rakt upp (90 grader) eller rakt ned (270 grader). Miniräknaren ska inte behövas där!

Dessutom, i allmänhet vill vi lösa ekvationer fullständigt. Vi vill alltså hitta alla lösningar. Du har hittat två, men vinklarna -90 och 450 pekar också antingen rakt ned eller rakt upp, så de uppfyller också att cos2(v)=0\cos^2(v) = 0. Man brukar därför slänga på ett valfritt (helt) antal perioder, för att beskriva alla lösningar på en gång:

v=90°+n·360°v=270°+n·360°v = 90^\circ + n\cdot 360^\circ \\ v = 270^\circ + n\cdot 360^\circ

Så att ena lösningen är "någon vinkel som pekar rakt upp" och andra är "någon vinkel som pekar rakt ned" - inte nödvändigtvis på "första varvet" i enhetscirkeln. Dessa två lösningsmängder kan också slås ihop till en enda, genom att hoppa från 90 till 270 och vidare, med halva varv:

v=90°+n·180°v = 90^\circ + n\cdot 180^\circ

Angående tilläggen: Du kan absolut byta ut cos2(v)\cos^2(v) mot 1-sin2(v)1-\sin^2(v) om du vill. Det är inte nödvändigt, men det är ett annat sätt som ger samma lösningar. Alla vägar -> Rom.

Natascha 1099
Postad: 26 mar 2020 Redigerad: 26 mar 2020

Juuuuuuuuust det! Det kändes fel att bara svara 90 grader respektive 270 grader. Jag hade glömt detta med att lösa ekvationen fullständigt. Tack för det Skaft. 

Vi tar fall2 nu innan avrundning. 

Vi har alltså: 49 - 4sin2v = 0 som jag skriver om som 4sin2(v) =49och då väljer jag att bli av med 4:an från VL och då får jag sin2v =49·14 = 436  som efter division med 4 ger en förenkling till 19 dvs sin2(v) = 19.

Då kommer jag få 2 fullständiga svar för fall2 

v1 = 19 + n · 360 och v2 (180-19) + n ·360eller kanske mer lämpligt att skriva i grader, såhär: v1 = 6,37 + n ·360och v2 =173,63 + n · 360

Skaft 464 – F.d. Moderator
Postad: 26 mar 2020

Nja, nu försvann en sån där detalj igen. Det är ju sin2(v)\sin^2(v) i vänsterledet, inte sin(v)\sin(v). Så först måste vi lösa ut sinusvärdet, som pga. kvadraten kan vara antingen positivt eller negativt:

sin2(v)=19sin(v)=±19\sin^2(v) = \frac{1}{9} \\ \sin(v) = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}

Så det här fallet grenas upp i ytterligare två fall! Men nu är du nästan i mål. (Och vinkeln till ett sådant här sinusvärde kräver ingen att du ska hitta utan räknare)

Natascha 1099
Postad: 26 mar 2020 Redigerad: 26 mar 2020

Ajdå! Fan också! Vilket onödigt slarv av mig. :(((((

Men då behåller jag de två fullständiga lösningar som jag skrev ovan? 

Då bör väl dem resterande lösningarna ges av: 

v1 = 13 + n · 360  19,47 + n · 360 och v2 = 180 - (-13) + n · 360  179,42 + n · 360

Blir lite osäker ifall ovan svar är korrekt, hoppas! 

Skaft 464 – F.d. Moderator
Postad: 26 mar 2020 Redigerad: 26 mar 2020

Försök ta mindre steg när du räknar, jag får känslan att du försöker göra lite för mycket på en gång och därför går det snett. Ha inte bråttom, ta bara en sak i taget. Långsam och noggrann is the shit. Så:

sin(v)=±19\sin(v) = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}

Först: Kan vi förenkla detta? Vad blir roten ur en niondel? SPOILER okej det blir 1/3:

sin(v)=±13\sin(v) = \pm \frac{1}{3}

Sinusvärdet är alltså antingen 1/3, eller -1/3. Det är två olika fall, som vi får behandla separat. Börja då med den positiva:

sin(v)=13\sin(v) = \frac{1}{3}

Vi har vinkelns sinusvärde, så en vinkel kan vi hitta genom att använda inversfunktionen till sinus (sin-1\sin^{-1} eller arcsin\arcsin).

v1=arcsin(13)19.47°v_1 = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 19.47^\circ

Men, vinkeln kan ju speglas i y-axeln också, vilket ger en till lösning:

v2180°-19.47°=160.53°v_2 \approx 180^\circ - 19.47^\circ = 160.53^\circ

Och dessutom kan båda lösningar förskjutas med ett helt antal helvarv:

v=19.47°+n·360°v=160.53°+n·360°v = 19.47^\circ + n \cdot 360^\circ \\ v = 160.53^\circ + n \cdot 360^\circ

Det var ena fallet! Om sinusvärdet är negativt då?

Svara Avbryt
Close