Hur definierar man energi som storhet?

the capacity to do work

Der där har jag på andra ställen sett definieras som ”exergi”. En mer allmän definition av energi skulle då vara ”förmåga att skapa rörelse”, vilket då lätt leder in på potentiell/kinetisk energi. Potentiell energi blir då ”potential till rörelse” medan kinetisk energi är, tja, rörelse.

Jag skulle vilja hänvisa till Richard Feynmans bok ”Six Easy Pieces”. Den innehåller sex kapitel, där kapitel fyra heter Conservation of Energy med underrubrikerna: What is energy, Gravitational potential energy, Kinetic energy, Other forms of energy.

Se https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_04.html

I inledningen av kapitlet skriver han bland annat att: ”It is important to realize that in physics today, we have no knowledge of what energy is. We do not have a picture that energy comes in little blobs of a definite amount. It is not that way. However, there are formulas for calculating some numerical quantity, and when we add it all together it gives always the same number. It is an abstract thing in that it does not telll us the mechanism or the reasons for the various formulas.”

Saxat från en annan diskussion vi har haft:

Är inte hela den här frågan om vad saker egentligen "är" för något en aning överskattad?

När allt kommer omkring är det ändå väldigt sällan som vi kan svara på den. Vi tror gärna att vi förstår vad koncept som "elektron", "kraft", "massa" eller "laddning" är, trots att de flesta nog skulle stå lika handfallna inför att förklara vad de begreppen egentligen "är" för något, som inför att förklara vad "energi" "är" eller vad en "vågfunktion" "är" i kvantmakaniken. För att parafrasera von Neumann så är det lätt att förväxla tillvänjning med verklig förståelse!

I grund och botten är allt detta bara teoretiska entiteter som vi hittat på för att modellera vår omvärld, varken mer eller mindre, och det är nog för mycket begärt att man fullt ut ska kunna definiera de här begreppen på ett  tillfredställande sätt. Det är inte som i matematiken där alla definitioner mer eller mindre kan härledas tillbaka till mängdteorin med ZFC-axiomen. Huvudsaken är i stället den här begreppsapparaten fungerar och rent praktiskt hjälper oss att göra förutsägelser för hur universum fungerar.

Med detta sagt så finns det säkert många användbara perspektiv på energibegreppet som kan vara åtminstone någorlunda matematiskt tillfredställande, särskilt om man tittar på något specifikt och lite avgränsat område av fysiken som till exempel kvantmekanik, termodynamik, eller statistisk mekanik – och jag är också väldigt intresserad av att lära mig mer om detta, så jag följer tråden med stort intresse! ^_^

Tack för era insiktsfulla svar! Jag kan ändå köpa Feynmanns inledning där, och det var tyvärr det jag fruktade.

Men skulle det vara möjligt att definiera storheten "energi" i t.ex. ett termodynamiskt sammanhang, och sedan använda den definitionen i alla andra fysikaliska sammanhang? Så att man har en definition man alltid kan gå tillbaka till och säga "detta är definitionen av energi, även om vi inte kan tolka det fysikaliskt". Det jag har så himla svårt att greppa är ögonskenligt helt annorlunda saker båda kan vara energi och ha enheten "Joule".

oggih skrev:

Är inte hela den här frågan om vad saker egentligen "är" för något en aning överskattad?

[…]

I grund och botten är allt detta bara teoretiska entiteter som vi hittat på för att modellera vår omvärld, varken mer eller mindre, och det är nog för mycket begärt att man fullt ut ska kunna definiera de här begreppen på ett  tillfredställande sätt. 

Det beror väl på vad man ser som syfte med vetenskapen? Är syftet att kunna göra förutsägelser om det vi faktiskt kan observera, eller vill vi försöka reda ut hur vår omvärld faktiskt ser ut?

Det är väl möjligt att det första förstnämnda är så långt vi kan komma, men samtidigt kan jag könna att det inte gör det sistnämnda ointressant?

I fysik är vi extra intresserade av systemegenskaper vi kan observera samtidigt som de tycks vara bevarade över tid. Beskrivningen av sådana fenomen kallas "bevarandelagar" eller Noethersymmetrier (varje kontinuerlig symmetri i ett fysikaliskt system leder till en bevarad storhet). De flesta tänkbara definitioner av energi utgör tidsinvarianta translationssymmetrier och är därmed makroskopiska mått som bevaras lokalt. Därför är det inte underligt att de olika energibegreppen blivit en sådan hit i klassisk fysik.

Ur ett teoretiskt perspektiv är det dock viktigt att komma ihåg under vilka förutsättningar energin är "bevarad". I motsats till vad många tror handlar det absolut inte om allmängiltiga naturlagar.

Fotoner som färdas under långa sträckor i vakuum (ett isolerat system) ökar sin våglängd (minskar sin energi) utan att interagera med något annat system eftersom rumtiden expanderar. Man skulle naivt kunna tro att energiförlusten kanske hjälper till att spänna upp rummet på något sätt, att det skulle vara kopplat till de mystiska koncepten mörk materia / mörk energi, men det verkar inte heller stämma. Energiförlusten hos bakgrundsstrålningen sedan Big Bang motsvarar bara en bråkdel av den tillväxande mörka energin (universum expanderar i en allt högre takt).

Tack för ditt svar, @D4NIEL!

Jag undrar dock vad för definitioner det finns av energi. Jag har sökt weit und breit men jag tycks bara hitta vad som förefaller vara extrema förenklingar eller cirkulära definitioner. Så vitt som jag förstår det ur denna tråd är energi något i stil med:

En storhet som råkar bevaras vid fysikaliska eller kemiska reaktioner till följd av att förloppet inte är tids- eller platsberoende.

Om detta stämmer kan jag nog köpa det för tillfället, även om jag tycker det är någorlunda otillfredsställande (antagligen för att jag inte har läst matematiken än, det verkar ha med gruppteori att göra). 

Ja, det stämmer ungefär (jag skulle kanske vilja lägga till "isolerat system" någonstans).

Men du kan komma väldigt långt genom att bara betrakta energi som det mekaniska arbete som behövs för att transformera ett system från ett tillstånd $S_1$ till ett annat tillstånd $S_2$.

Det arbete en kraft $\mathbf{F}$ utför under en liten förflyttning $\Delta \mathbf{r}$ är per definiton

$\Delta W=\mathbf{F}\cdot \Delta \mathbf{r}$

På integralform blir det en linjeintegral i rummet:

$\displaystyle \Delta E = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

För att förflytta en sten med massa $m$ från markytan (tillstånd $S_1$)  till höjden $h$ meter över markytan (tillstånd $S_2$) behöver vi tillföra systemet energin (utföra arbetet)

$\displaystyle \Delta E = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_0^h mg \,dr=mgh$

För att förflytta en laddning $q$ $d$ meter i ett E fält som spänns upp av potentialen $U$ måste vi tillföra energin (utföra arbetet)

$\Delta E = \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_0^d \frac{U}{d} q \,dr=Uq$

För ett kvasisationärt termodynamiskt system kan vi tänka oss en cylinderformad behållare med tvärsnitt $A$ och längd $s$ som innehåller en gas med medeltrycket $\bar{p}$. Om vi nu trycker ihop cylinderns volym genom att flytta den ena ändan sträckan $s$ har vi utfört arbetet (kraften är trycket gånger arean).

$\Delta E = \displaystyle\int_C \bar{p}A\, ds$

Detta kan man såklart utöka till en förändring av volymen från tillstånd $V_i$ till tillstånd $V_f$ enligt

$W=-\Delta E=\displaystyle \int_{V_i}^{V_f}\bar{p}\,dV$

Där minustecknet signalerar att vi behöver tillföra energi för att pressa ihop volymen. Genom att använda ensembler och spetsfundigheter från den matematiska statistiken kan vi faktiskt bygga upp hela den klassiska termodynamiken på det här viset.

Betraktelsesättet har dock vissa begränsningar. Vi vet ju att materia kan omvandlas till energi (vilket förvisso kan ses som att vi transformerar ett system från ett tillstånd till ett annat), men det blir lite krystat att använda arbete i betydelsen "kraft gånger väg" som matematisk grundbult i sådana sammanhang. Det blir också lite otydligt när rumtiden kröks, vid superponerade tillstånd eller när energinivåerna är kvantiserade och det finns en nollskild "grundnivå", alltså där vi kan tala om ett tillstånds "totala energiinnehåll".

Hondel skrev:

oggih skrev:

Är inte hela den här frågan om vad saker egentligen "är" för något en aning överskattad?

[…]

I grund och botten är allt detta bara teoretiska entiteter som vi hittat på för att modellera vår omvärld, varken mer eller mindre, och det är nog för mycket begärt att man fullt ut ska kunna definiera de här begreppen på ett  tillfredställande sätt. 

Det beror väl på vad man ser som syfte med vetenskapen? Är syftet att kunna göra förutsägelser om det vi faktiskt kan observera, eller vill vi försöka reda ut hur vår omvärld faktiskt ser ut?

Det är väl möjligt att det första förstnämnda är så långt vi kan komma, men samtidigt kan jag könna att det inte gör det sistnämnda ointressant?

Som du hör har jag en ganska inbiten instrumentalistisk inställning till vetenskap, men kan ändå absolut hålla med om att metafysiska frågeställningar om hur vår omvärld "faktiskt" är beskaffad kan vara spännande att fundera på. Det är bara det att jag har svårt att se hur man någonsin kan komma längre än lösa spekulationer, eftersom vi är så djupt och fundamentalt begränsade av våra sinnen, språk, fantasti och abstraktionsförmåga. Om jag ska hårdra det kan jag rent av tycka att det angränsar till hybris att som människor förvänta oss att vi ens ska kunna komma i närheten att reda ut hur världen "egentligen" fungerar! 😃

Om inte annat kan vi blicka tillbaka i historien lite, där man kan se hur vår världsbild gång och på gång har förändrats i grunden. Det var till exempel inte alls längesedan koncept som eter och flogiston var grundläggande i den naturvetenskapliga världsbilden, men nu helt har försvunnit – och på senare tid har den Newtoniska idén om att det skulle finnas gravitationskrafter bytts ut mot ett fundamentalt annorlunda relativitetsteoretiskt perspektiv på fenomenet gravitation.

Och spelar det egentligen så stor roll hur saker "faktiskt" ligger till, och vad flogiston, gravitationskraft eller för den delen energi är – eller om dessa koncept ens "existerar" annat än som modeller för världen? Jag kan tycka att det är fullt tillräckligt att ha som mål med naturvetenskapen att skapa modeller som hjälper oss förutsäga världen, vilket både etern, flogistonet och gravitationskrafter har gjort (och i gravitationskrafternas fall fortfarande gör i många viktiga praktiska sammanhang).

Tack för ditt utförliga svar, @D4NIEL!

Jag har en fråga om hur man ska tolka att det är just integrering som ger arbetet. Tänker man att om man gör infinitesimala förflyttningar $\mathrm{d}\textbf{r}$ med en kraft $\textbf{F}$ som beror på $\textbf{r}$, så kan man summera alla dessa infinitesimala arbeten till ett totalt, "reellt", summaarbete? Alltså:

$\displaystyle \mathrm{d}W = \textbf{F}\mathrm{d}\textbf{r} \iff W=\int_{C}^{}\textbf{F}\mathrm{d}\textbf{r}$

Ja just det. Men notera att det är en skalärprodukt "$\cdot$", man räknar bara med den delen av kraften som är "parallell" med den infinitesimala förflyttningen.

$\mathrm{d}W=\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\cos(\theta)F\,\mathrm{d}r$

Energi är väl bara ett tal som används för att bokföra olika typer av förändring. Det har fördelen att vara konserverad under vissa omständigheter, för vissa systemgränser, och smarta bokföringar. Hur det beskrivs matematiskt beror helt på vilket system du tittar på och med vilken upplösning.

När det kommer till att två till synes helt olika saker kan ha samma fysikaliska enhet finns det också en intressant fråga. Till exempel har ett kraftmoment samma enhet som energi, är det då energi vi tillför när vi anbringar ett kraftmoment?

Det ena är en vektorstorhet och det andra en skalär så de kan ju inte vara samma sak. Men moment gånger vinkel kan väl ses som synonymt med kraft gånger väg, så visst. Men kraftmoment är inte energi. Inte heller kraftmoment gånger en vinkel är energi. Vad nu det betyder. Kraftmomentet är bara medlaren vid omvandling mellan olika energiformer, kanske?

Vilken spännande tråd! Tack ni som bidragit, och naytte som ställde frågan! 

SaintVenant skrev:

...helt olika saker kan ha samma fysikaliska enhet finns det också en intressant fråga. Till exempel har ett kraftmoment samma enhet som energi, är det då energi vi tillför när vi anbringar ett kraftmoment?

Det ena är en vektorstorhet och det andra en skalär så de kan ju inte vara samma sak...

Jag älskar såna här diskussioner, tack naytte (och ni andra)! Trillade in lite sent i tråden via SaintVenant:s profil. Kul med någon som svarar på ingenjörsproblemen här (har själv lite dåligt samvete för att jag är så inaktiv). 

Jag skulle säga att moment inte är en vektorstorhet. Det är en pseudovektor precis som angular momentum (vad det nu heter på svenska). Pseudovektor tolkar jag som att det är en konvention som man har gjort för att representera (det skalära, i min mening) momentet som en vektor. "Rent fysikaliskt har momentet ingen riktning", vad jag nu menar med det 😀 Och jo, jag tycker att moment är energi. Om du anbringar ett moment på något och det börjar röra på sig, då känns det som att du har tillfört energi. Att den energin råkar ha samma storlek som momentet är lite svårförklarat...

Med detta sagt så har jag full förståelse för oggih:s ståndpunkt.

Dessutom har jag ingen aning om vad energi är för något (förmodligen tillsammans med resten av mänskligheten). Lika lite som jag förstår vad spänning är. Men det känns lite magstarkt att säga att jag inte förstår vad massa är, men det är säkert bara ett exempel på tillvänjning!

Jag skulle vilja återuppliva denna tråd för att ställa en fråga om #9:

När vi skriver att:

$\displaystyle \Delta E=\int_{C}^{}\textbf{F}\mathrm{d}\textbf{r}=\int_{0}^{h}mg\mathrm{d}r=mgh$

Är det då på något sätt kopplat till begreppet "reversibel process"? Det vill säga, detta är arbetet vi måste uträtta om processen sker oändligt långsamt och vi bortser från "dissipativa krafter" (kallas det det på svenska?).

Om jag förstår det rätt kan jordens tyngdkraftsfält approximeras som ett konservativt kraftfält, så vägen vi tar för att nå en viss höjd $h$ spelar ingen roll; förändringen i energi hos systemet blir densamma ändå. Men för att förändringen i energi hos systemet faktiskt ska motsvara arbetet vi uträttar måste det väl ske "reversibelt"?

Nja, detta är väl definitionen av arbete. Det kan inbegripa krafter som är både konservativa och icke-konservativa (tex friktion). Inget krav på reversibelt förlopp.

Men är det inte så att vi uträttar ett större arbete än vad som krävs om vi skulle tillämpa en kraft som är större än tyngdkraften? Exempelvis om vi lyfter en sten med en kraft på 10mg, när tyngdkraften på stenen bara är mg. 

För att förändringen i potentiell energi hos föremålet ska motsvara exakt arbetet vi uträttar måste vi väl lyfta stenen på ett sätt som gör att vår lyftkraft i varje punkt av processen är endast infinitesimalt större än tyngdkraften? Annars går väl en del av arbetet till att öka stenens rörelseenergi?

naytte skrev:

Annars går väl en del av arbetet till att öka stenens rörelseenergi?

Ja. Det blir ett kast. Inget problem.

Jag menar inte att det skulle uppstå några problem, men att säga att:

$\displaystyle W=\Delta E=mgh$

förutsätter väl att kraften vi tillämpar alltid är exakt lika med tyngdkraften?

naytte skrev:

Jag menar inte att det skulle uppstå några problem, men att säga att:

$\displaystyle W=\Delta E=mgh$

förutsätter väl att kraften vi tillämpar alltid är exakt lika med tyngdkraften?

Nej, bara att kinetiska energin (hastigheten) är lika stor vid slutet (i uppgifter brukar det vara noll).

Ah, givetvis. Så i så fall spelar det ingen roll för arbetet vi uträttar hur vår tillämpade kraft varierar över tid så länge den kinetiska energin i slutet är samma som i början?

Jag skulle vilja testa att skriva upp ett exempel för att bevisa för mig själv att förändringen i energi är oberoende av vilken väg man tar, sålänge man når samma höjd. Antag att vi har kraftfältet $\displaystyle \textbf{f}(x,y,z):=-mg\hat{z}$. Vi definierar en godtycklig väg $C$ mellan vår nollnivå och höjden $z=h$:

$\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t)),t\in[0,a]$ med villkoren $z(a) = h$ och $z(0) = 0$.

Vi har då för varje punkt på $C$ en ortsvektor $\displaystyle \textbf{r}(t):=(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right))$ med $\displaystyle d\textbf{r}:=(x'\left(t\right),y'\left(t\right),z'\left(t\right))dt$.

Om vi tar vår väg upp till höjden $h$ längs $C$ har vi:

$\displaystyle \Delta E=\int_{C}^{}mg\hat{z}\cdot d\textbf{r}=\int_{t=0}^{t=a}\left(0,0,mg\right)\cdot\left(x'\left(t\right),y'\left(t\right),z'\left(t\right)\right)dt$

$\displaystyle =mg\int_{t=0}^{t=a}z'\left(t\right)dt=mgz\left(a\right)=\boxed{mgh}$

Så tydligen spelade det alltså ingen roll för förändringen i potentiell energi $\Delta E$ hur vi kom till vår höjd $z=h$. Är detta ett korrekt resonemang? Det är möjligt att det är helt uppåt väggarna fel; jag försöker pussla ihop ny kunskap (läste nyligen om linjeintegraler) med gammal kunskap i det här exemplet.

naytte skrev:

Jag skulle vilja testa att skriva upp ett exempel för att bevisa för mig själv att förändringen i energi är oberoende av vilken väg man tar, sålänge man når samma höjd. Antag att vi har kraftfältet $\displaystyle \textbf{f}(x,y,z):=-mg\hat{z}$.  

Det gäller allmänt för gravitation och andra konservativa kraftfält, att man kan definiera en potential.

Jag förstår begreppet "potential" i det här sammanhanget som en skalärfunktion $U=U(x,y,z)$ sådan att $\textbf{F} = -\nabla U$, där $\textbf{F}$ är ett kraftfält. Stämmer det?

naytte skrev:

Jag förstår begreppet "potential" i det här sammanhanget som en skalärfunktion $U=U(x,y,z)$ sådan att $\textbf{F} = -\nabla U$, där $\textbf{F}$ är ett kraftfält. Stämmer det?

Ja. 

Ja okej, så det går alltså för alla konservativa kraftfält?

I vårt fall hade man alltså kunnat slippa allt krångel med integraler genom att bara ha kunskapen att tyngdkraftsfältet är konservativt, eftersom:

$\displaystyle \textbf{f}(x,y,z)=-\nabla U=(0,0,-mg) \iff U(x,y,z)=mgz$

?

Om du vill koppla reversibel process med potentialfunktioner på det sätt jag tror du vill göra (på det sätt man pratar om det i termodynamiska sammanhang) bör du helst koppla ihop linjeintegraler (och potentialfunktioner) med differentialer.

När vi studerar hur mycket arbete som uträttas när en partikel rör sig längs en kurva i ett fält undersöker vi linjeintegraler:

$\displaystyle \int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}=\int_\gamma F_xdx+F_ydy+F_zdz$

Termerna i integranden är ju misstänkt lika en differential. Om vi låter $F_x=\frac{\partial U}{\partial x}$ etc. får vi

$\displaystyle dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy+\frac{\partial U}{\partial x}dz$

Och den sökta integralen kan skrivas som

$\displaystyle \int_\gamma dU$

En differentialform av den här typen, dvs summan $F_1dx^1+\dots +F_ndx^n$ kallas en $1$-form. För att göra det enklare använder man Einstein-notation. Om ett index förekommer två gånger i samma faktor, en gång upptill och en gång nedtill, summerar man.

$dU=F_jdx^j$

Där det är underförstått att index $j$ summeras över antalet dimensioner.

För att kunna räkna på differentialer som $\omega=F_jdx^j$ och $\pi=B_jdx^j$ behöver vi också regler. Vi får till exempel addera två former $\omega + \pi =(F_j+B_j)dx^j$

Vi får också multiplicera objektet med en valfri skalär funktion $f$ (eller en konstant såklart)

$f\pi=fB_jdx^j$

När det gäller multiplikation använder vi något som kallas yttre produkt $\wedge$. Den följer den vanliga distributiva lagen för multiplikation, men är antikommutativ

$\omega \wedge \pi=-\pi \wedge \omega$

När vi multiplicerar två 1-former får vi en 2-form.

$F_jdx^j\wedge B_kdx^k=F_jB_kdx^j\wedge dx^k=C_{jk}dx^j\wedge dx^k$

Det finns också regler för hur man skapar en yttre derivata, $d\omega$ av en form $\omega$. Till exempel är

$\displaystyle d(A_jdx^j)=\frac{\partial A_j}{\partial x^k}dx^k\wedge dx^j$

Skalära funktioner är 0-former. Vektorfält är 1-former. När man deriverar en $p$-form får man en $p+1$-form. Jämför med hur man tar gradienten av en skalär funktion och får en vektor. Fortsätter vi derivera en gång till får vi en funktionalmatris. Vi går alltså från skalär -> vektor -> matris.

Om den yttre derivatan av differentialen är 0 säger man att den är sluten. Om differentialen kan skrivas som den yttre derivatan av en annan differential säger man att det är en exakt differential, dvs en p-form $\omega$ är exakt om det existerar en (p-1)-form $\pi$ så att

$\omega=d\pi$

Med definitionen av derivatan är det enkelt att visa att

$d(d\pi)=0$

Med andra ord, varje exakt $p$-form är sluten.

Det här tillsammans med Stokes allmänna sats är ett oerhört kraftfullt verktyg, t.ex. gäller för ett område $\Omega$ med en sluten rand (och andra förutsättningar)

$\displaystyle \int_\Omega dU =\int_{\partial \Omega} U$

I en dimension motsvarar Stokes sats integralkalkylens fundamentalsats. I två dimensioner motsvarar den Greens formel och i tre dimensioner "Stokes sats" som vi lär oss den i flervarren. Med en elegant omformulering ramlar Gauss sats ut. Och då har vi bara skrapat lite på ytan.

I termodynamik studerar man också en rörelse, fast genom ett fas- eller tillståndsrum där koordinaterna utgörs av temperatur, tryck, energinivåer och andra observabler. Man funderar över energikostnaden för olika integrationsvägar genom tillståndsrummet för att nå "samma" slutmål.

naytte skrev:

Ja okej, så det går alltså för alla konservativa kraftfält?

I vårt fall hade man alltså kunnat slippa allt krångel med integraler genom att bara ha kunskapen att tyngdkraftsfältet är konservativt, eftersom:

$\displaystyle \textbf{f}(x,y,z)=-\nabla U=(0,0,-mg) \iff U(x,y,z)=mgz$

?

Ja, det gäller för alla konservativa fält. Och man kan undersöka om ett fält är konservativt genom att studera dess rotation. Om $\nabla \times \mathbf{F}=0$ kan du hitta en skalär potentialfunktion $U$. Det är samma sak som att kräva att fältets yttre derivata $d(F_jdx^j)=0$ eller att differentialen är exakt.

Tack för dina extremt utförliga svar!

För att koppla detta ytterligare till begreppet reversibel process ur termodynamiken, visst är det så att inexakta differentialer (alltså sådana som inte kan skrivas som den yttre derivatan av en differential) motsvarar vägfunktioner? T.ex. värme och arbete, eftersom dessa kan anta olika värden beroende på hur man transformerar sitt system mellan två tillstånd?