Hur definierar man polynom?

Du frågar vad x är. x betecknar den oberoende oberoende variabeln i en funktion. En fkn f:X—>Y definieras som en delmängd f av produktrummet X x Y sådan att (x,y₁) och (x,y₂) tillhör f ==> y₁=y₂. Du är säkert helt på det klara med att f(x)=xⁿ definierar funktionen f =Mängden av paren (x,xⁿ) i produktrummet R x R, där x tillhör R och n tillhör N. Polynomen är sedan ett resultat av att funktionerna xⁿ kan adderas och multipliceras med skalärer och dessa operationer är slutna i mängden av polynom och därför utgör ett lineärt rum.

Jag tycker du lyfter en rimlig fråga, och ja, det är vanligt att formellt betrakta ett polynom som just en följd av koefficienter där bara ändligt många är nollskilda. Din mappning E_x  kallas ofta för evaluering vid x, och skrivs inland ev_x.

Sidenote: Var försiktig med mängdnbyggarnotationen. Du kan inte ha variabler som är okvantifierade så som n är i "{(a0,a1,...,an,0,...)∈KN}". Jag hade hellre skrivit {(a0,a1,...,an,0,...)∈K^N : n∈N} så att det framgår att n kan vara vilket naturligt tal som helst.

Tomten skrev:

Du frågar vad x är. x betecknar den oberoende oberoende variabeln i en funktion. En fkn f:X—>Y definieras som en delmängd f av produktrummet X x Y sådan att (x,y₁) och (x,y₂) tillhör f ==> y₁=y₂. Du är säkert helt på det klara med att f(x)=xⁿ definierar funktionen f =Mängden av paren (x,xⁿ) i produktrummet R x R, där x tillhör R och n tillhör N. Polynomen är sedan ett resultat av att funktionerna xⁿ kan adderas och multipliceras med skalärer och dessa operationer är slutna i mängden av polynom och därför utgör ett lineärt rum.

Detta fick mig att inse att jag aldrig riktigt har funderat över vad en funktion är rent formellt, men det verkar ju likna hur man definierar t.ex. en (ordnings)relation. Så vi säger alltså att givna två mängder $X$ och $Y$, så har vi:

$\displaystyle f\subseteq X\times Y=\{ (x,y):x\in X,y\in Y \}$

Och sedan säger vi att om $(x,y) \in f$ så använder vi notationen $y=f(x)$?

Precis. En relation är helt enkelt en delmängd av produktrummet som inte nödvändigtvis uppfyller kravet (x,y₁₎ och (x,y₂)tillhör f ==> y₁=y_2.. En funktion är således en relation, men en relation behöver inte vara en funktion.

Jag förstår. Men om $y=f(x)$ verkligen endast är notation, hur rättfärdigar vi "$=$"? Det är ju en relation i sig, inte bara "en symbol".

Endast en ofattbart liten andel av alla funktioner kan ges med en ekvation av typ y= f(x). I dessa fallen blir funktionen f={(x,f(x)): x tillhör D_f }

Du kanske vill läsa Whitehead&Russells "Principia Mathematica" (de stal titeln från Newton), där de försöker definiera allting stringent från grunden.

Tomten skrev:

Endast en ofattbart liten andel av alla funktioner kan ges med en ekvation av typ y= f(x). I dessa fallen blir funktionen f={(x,f(x)): x tillhör D_f }

Nu blev det återigen lite mystiskt för mig. Vilket produktrum skulle innehålla paret $(x,f(x))$? Var kommer $f$:et ifrån här? Skulle du kunna ge ett exempel på två mängder vi kan kryssa för att få sådana par?

Du kanske vill läsa Whitehead&Russells "Principia Mathematica" (de stal titeln från Newton), där de försöker definiera allting stringent från grunden.

Låter spännande. Tack för tipset!

Ex.: Tag R x R och delmängden f={(x, 2x): x tillhör R}  Här kan vi istället ge f med ekvationen f(x)=2x på ”vanligt” sätt. Man kan säga att en funktion helt enkelt är definierad av sin graf.

Jag har bara svårt att köpa den här notationen. Vi har alltså ett objekt $f$ sådan att för alla $x\in\mathbb{R}$:

$\displaystyle (x,2x) \in f$

Jag förstår däremot inte hur vi kan gå härifrån till $f(x)=2x$. Var någonstans i definitionen har vi sagt vad "$f(x)$" betyder?

Det är så klart ett bekymmer. Å ena sidan är f en delmängd av produktrummet, å andra sidan är f given av en ekvation, där  f förekommer i symbolen f(x). Den förstnämnda definitionen är den mest generella och omfattar funktioner givna av ekvationer som specialfall. Den andra är den välbekanta sedan gymnasiet.

Men det måste väl finnas något sätt att koppla ihop dessa två till synes olika funktionsbegrepp? På något sätt måste man väl ur den generella definitionen kunna säga vad "$f(x)$" är?

f(x) står då för andrakomponenten i paret (x, f(x)) men behöver som sagt inte vara given av en ekvation.

Det dröjde ganska länge innan jag träffade på en tillämpning av den generella definitionen, Ett njutbart tillfälle var dock, när Hahn-Banachs utvidgningssats skulle bevisas. Då  tittade den fram tillsammans med Zorns lemma. Sen har jag nog sett den fler gånger som jag inte kan återge.

Stämmer det att vi har unikhet enligt definitionen för funktionen, alltså eftersom $(x,y_1),(x,y_2)\in f \implies y_1 = y_2$, så kan vi alltså säga att varje $y$ bestäms unikt av varje $x$?

Nja kanske (varje x; vad betyder det här?),  kan det stämma om y ligger i värdeförrådet. 

Fast hellre: Varje x ( i definitionsområdet ) bestämmer ett unikt y

Jag syftade på de $x$ som tillhör definitionsmängden.

Nu har jag smakat lite på det vi har diskuterat här och jag tror jag är med nu. Låt säga att vi har någon funktion $g=\{ (x,2x),x\in\mathbb{R} \}$. I så fall kan vi uttrycka relationen mellan våra två element ur tuplarna som $y=2x$, dvs. det är ett sätt att uttrycka hur elementen förhåller sig till varandra.

Det är nog ganska rimligt.

Då har jag en följdfråga som jag hoppas leder oss tillbaka till polynom. Låt säga att vi skapar en mängd:

$\displaystyle \mathcal{F}:=\{ f:f\subseteq X\times\mathbb{R}\;\text{och}\; (x,y_1),(x,y_2)\in f\implies y_1=y_2 \}$

Skulle detta då vara mängden av alla reellvärda funktioner som finns?

På definitionsmängden X, JA

Givetvis. Men om $X$ är godtycklig kan man väl lika gärna se det som mängden av alla reellvärda funktioner?

Svar JA

Jag läser tråden med intresse. Med risk att upprepa vad som redan sagts:

Vi har en mängd A som består av en massa element a och en mängd B som består av en massa b.

Det ger mängden A x B som består av alla par (a, b).

Varje delmängd till AxB utgör en relation.

De delmängder som inte har några element (a, b₁) ≠ (a, b₂) kallas funktioner. De kan skrivas (a, f(a)) eller b = f(a).

Vissa funktioner kan ges av en formel. Men till exempel [temperaturen utanför mitt fönster vid tiden t] är en funktion där vi i praktiken inte kan hitta någon formel, även om den kan åskådliggöras med en graf.

Detta tror jag vi är överens om, även om stringensen i min framställning kan ifrågasättas. Men frågan gällde polynom. Där känner jag osäkerhet.

p(x) = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ

är kostymen för ett polynom. Jag tänker a-koefficienterna tillhör någon definierad mängd (ring, kropp, …,?). Men x kan vara egentligen vad som helst som ger högerledet en mening. Eller?

Det är din sista fråga som stör mig också! Jag har funderat på hur man skulle kunna uttrycka mängden av alla polynom med komplexa koefficienter $\mathbb{C}[x]$ och det bekväma sättet skulle ju vara:

$\displaystyle \mathbb{C}\left[x\right]:=\left\{ \sum_{i=0}^{n}a_i x^n:a_i\in\mathbb{C}\;\text{och}\;n\in\mathbb{N} \right\}$

Men problemet blir, som jag tangerade i #1, att vi inte vet vad det här mystiska objektet "$x$" är. Men låt säga att vi trots vår förvirring kring denna symbol accepterar detta. Fine. Ett annat sätt att definiera mängden av alla polynom med komplexa koefficienter, som vi berörde i början av tråden, är:

$\displaystyle \mathbb{C^{\mathbb{N}}}:=\{ (a_0,a_1,a_2,...):a_i\in\mathbb{C} \}$

$\displaystyle \mathbb{C}\left[x\right]:=\left\{ p\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}: \exists N\in \mathbb{N},\forall n>N, a_n=0\right\}$

Nu har jag dock en viktig fråga. Hur kan vi motivera att dessa mängder är samma mängd? De ser ju helt olika ut! Kan man tänka att dessa mängder är isomorfa, att de innehåller "samma element" med "olika namn"?

Jag är väldigt lost här.

Jag har inte lusläst dina definitioner, men de ser väl ut att definiera samma sak.

En radvektor med n+1 komplexa tal kan väl användas som id-kort för ett polynom av grad n, och vice versa.

Men x?

Kan inte x få vara vadsomhelst– anything som ger polynomet mening?

Så mycket är ju klart som att redan en beskedlig polynomekvation med heltalskoefficienter som t ex  x² + 1 = 0 ställer imaginära krav på x.

Jag har svårt att se ett meningsfullt polynom där x är en trampcykel, men om någon lyckas – be my guest.

Till exempel: Om A är en kvadratisk matris så definieras

e^A som A⁰ + A¹ + A²/2 + A³/6 + … + Aⁿ/n! + …

så här är vårt x en från vanliga tal ganska artskild skapelse.

Vi bildar linjärkombinationer av vektorer aU + bV utan att skämmas. Sant är att Vⁿ inte har någon av mig känd innebörd ifall det gäller ”vanliga” (n x 1)-vektorer – men begreppet vektor kan ges en generös tolkning, t ex en funktion definierad på (0 , 1) där ”skalärprodukten” f*g betyder integralen av fg över intervallet.

Jag ser inte någon anledning att ange ramar för x i polynomet.  Bara fantasin sätter gränser.

Jag tycker problemet är att man måste kunna beskriva detta "$x$" formellt på något sätt. Att säga något i stil med att "$x$ är ett objekt som kan anta olika värden men som låtes stå som $x$, någon typ av formell symbol" är ingen definition, det säger inget om vad $x$ är i termer av hittills kända objekt.

Jag la till lite överst i min förra post

naytte skrev:

Jag tycker problemet är att man måste kunna beskriva detta "$x$" formellt på något sätt. Att säga något i stil med att "$x$ är ett objekt som kan anta olika värden men som låtes stå som $x$, någon typ av formell symbol" är ingen definition, det säger inget om vad $x$ är i termer av hittills kända objekt.

Nej jag tycker inte man behöver beskriva x alls.

Om någon upptäcker en multiplikation sådan att 1*x² + 1*x⁰ = 0 satisfieras av

x = trampcykel,  helt ok för mig.

Nu när jag tänker efter kanske man kan göra så här då, för att komma runt det här "problemet". Låt $\forall n\in \mathbb{N}$:

$\displaystyle f_n:=\{ (x,x^n)\}$

Låt vidare $f_n(x) := x^n$

Definiera sedan operationerna addition och skalärmultiplikation enligt det gängse sättet:

$\displaystyle \left(f+g\right)\left(x\right):=f\left(x\right)+g\left(x\right)$

$\displaystyle \left(cf\right)\left(x\right):=cf\left(x\right)$

Nu kan vi väl helt enkelt säga:

$\displaystyle\mathbb{C}\left[x\right]:=\mathrm{Span}_{\mathbb{C}}\left\{ f_n\left(x\right):n\in\mathbb{N} \right\}=\left\{ \sum_{i=0}^{n}c_if_i\left(x\right):c_i\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N} \right\}$

Om jag har tänkt rätt nu (och jag tror även det var detta Tomten menade i sitt första inlägg) så borde väl detta kringå problemet med att "$x$" saknade grund i tidigare kända objekt. Men jag är så trött nu att allt detta lika gärna kan vara svammel.

Brukar man inte helt enkelt definiera X som sekvensen (0, 1, 0, 0, …).

Med produkt av två sekvenser a = (a_n) och b = (b_n) definierad som (a*b)_n = $\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$_.

X² = X*X = (0, 0, 1, 0, 0, …)

Ja, man kan definiera operationer på polynom som sekvenser utan någon referens till symbolen $x$.

Om vi kallar mängden av sekvenser (som eventuellt blir 0) av element i någon kommutativ ring $R$ för $A$, och låter

$(a_n)\boxplus(b_n) := (a_n+b_n)$, samt

$(a_n)\boxtimes(b_n) := (t_n)$, där $t_n = \sum_{i+j=n}a_ib_j$,

så är det enkelt verifierat att detta gör $(A,\boxplus,\boxtimes)$ till en kommutativ ring.

Intressant nog kan vi också definiera en polynomring $R[x]$ som en fri kommutativ algebra på mängden $\{x\}$. En algebra är ungefär ett vektorrum där vi även kan multiplicera vektorer. Om $R$ är en kommutativ ring (så inte nödvändigtvis en kropp som i fallet för vektorrum) så definierar vi den fria $R$-modulen som att vi börjar med basen $\{1,x,x^2,\dots\}$, precis som du är inne på naytte, och sedan låter elementen i $R[x]$ vara alla möjliga linjärkombinationer av dessa baselement och koefficienter från vår ring $R$. En $R$-modul är precis som ett vektorrum utom att våra skalärer inte längre behöver komma från en kropp.

Vi definierar sedan multiplikation av två element i $R[x]$ genom att säga vad som sker på baselementen:

$x^n \cdot x^m := x^{n+m}$.

Detta bestämmer entydigt en multiplikation på $R[x]$ då vi ställer kravet att vår multiplikation ska vara linjär i båda argumenten.

Notera att symbolerna $x, x^2,x^3$ etc. inte formellt sett har något med variabler eller potenser att göra. De är bara namn. Vi hade kunnat kalla dem för vad som helst. Polynom har alltså a prio inget att göra med funktioner, men informellt finns funktioner och variabler med som motivation för varför vi väljer att definiera det som vi gör.

Man kan visa att båda dessa definitioner satisfierar en universell egenskap, vilket bland annat innebär att konstruktionerna är isomorfa som objekt ("samma" polynomringar). Den universella egenskapen säger att den s.k. "evaluation"-mappingen som tar $x\mapsto a\in R$ är en unik homomorfi, och som helt karakteriserar polynomringar. Denna universella egenskap innebär således att hur exakt vi väljer att konstruera våra polynomringar inte spelar någon roll, utan allt som satisfierar den universella egenskapen är isomorft.

Man kan tänka lite informellt på det som att all information om $R[x]$ kan återfås genom att studera alla dess relationer (morfier) till andra objekt. Som att vi kan känna till allt om objektet självt genom att betrakta alla dess skuggor.

Informellt kan beskriva situationen såhär. Säg att vi har en kommutativ ring $R$ och vill lägga till något ytterligare element $x\notin R$ och fortfarande ha en ring. Vi vill att ringaxiomen ska vara uppfylla men utan några som helst extra relationer mellan elementen. Då är $R[x]$ inte bara det bästa alternativet i bemärkelsen att det är den minsta ringen som innehåller både $R$ och $x$, utan det är också det enda vettiga sättet att göra det på.

Den universella egenskapen säger något ännu starkare: $R[x]$ är den "bästa möjliga" ring som innehåller en "variabel", eller ett "extra" element, $x$ som kan bli till vilket element i $R$ som helst.

Tack Gustor, bra att få lite kött på mina magra ben!

Det slår mig nu att jag sett en rolig tillämpning av polynom. Det handlade om kombinatorik. Man skulle räkna ut ”hur många” det blev när en företeelse A kombinerades med en företeelse B.

Det visade sig att om man associerade A och B med var sitt polynom, säg p(x) och q(x) så gav koefficienten för ett visst gradtal i polynomet (p gånger q) de önskade upplysningarna. 

Här kunde vi utnyttja att vi vet hur man multiplicerar polynom – det gav en genväg till svaret. x^k var här bara en etikett för ett visst fack, det var aldrig tal om att sätta in något värde på x. För våra syften hade x = 17 eller x = trampcykel fungerat lika bra. Jag har dunkla minnen av liknande finesser när det gäller genererande funktioner. (Laurentserier blänker i minnesbrunnen, är det någon koppling där???)

Jag har inte kvar Grimaldis bok om Discrete Mathematics, i så fall skulle jag slagit opp’at.

Jag vet inte varför det här inte går ihop för mig men jag klarar inte av det faktum att vi bara magiskt hittar på ett objekt ”$x$” och säger att det ska följa si eller sådana räkneregler. Jag inser nu att mitt försök med att definiera en ”bas” (fast genom ”funktioner”) $\{1, x, x^2,…\}$ ”fallerar” i just denna aspekt.

Blir lite irriterad på min egen oförmåga att begripa just nu 😑

Det är bara ett namn på ett element man lägger till, distinkt från elementen i $R$. Typ som $\infty$ för de utökade reella talen, eller $i$ för de komplexa talen. Både $\infty$ och $i$ är dock ganska speciella element som har unika egenskaper, så det är en viss skillnad. Elementet $x$ är mer som vilket annat ringelement som helst: vi kan bilda summor och produkter som innehåller det, och det kommuterar med de andra ringelementen.

Men när vi definierar de vanliga objekten, typ de negativa heltalen så säger vi inte ”det finns ett objekt som heter -1 och 1+(-1)=0” vi säger uttryckligen att:

Vi definierar ett tal -1 som ekvivalensklassen modulo [insert passande relation här] av tupeln (0,1).

Vi har alltså en tydlig koppling till något vi redan känner till. Detsamma gäller ju komplexa tal.

I definitionen med följder så definierar vi en kommutativ ring.

Vi kallar elementet $(0,1,0,0,\dots)\in R[x]$ för $x$.

Här är inte $R[x]$ definierad som att vi "lagt till" något element $x$. Vi har konstruerat en ring av följder och döpt ett av elementen till $x$.

Denna konstruktion fungerar för vilken kommutativ ring $R$ som helst, så vi kan använda oss av den för att på ett formellt sätt konstruera en "formell obestämd" eller "variabel". En egenskap som elementet $x$ besitter är att

$a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n = 0 \iff a_0=a_1=\dots=a_n=0$, för $a_i\in R$.

Man kan uttrycka det som att elementet $x$ är transcendentalt över $R$. (Detta betyder precis att elementet $x$ inte är roten till något polynom med koefficienter i $R$.)

Formellt sätt är "variabeln" $x$ alltså ett element som är transcendentalt över $R$, och konstruktionen ovan garanterar dess existens för varje kommutativ ring $R$.

Men om vi har bestämt att elementet $x:=(0,1,0,0,...)$, då kan vi ju inte använda $x$ för att beräkna något. Vi har ju redan bestämt exakt vad symbolen står för, nämligen följden $(0,1,0,0,...)$.

Låt säga att vi definierar ett polynom:

$p\left(x\right)=x^2+1 = (1,0,1,0,0,...)$

Vad är i så fall $p(2)$?

Först och främst kan vi identifiera $R$ som en delring av $R[x]$ via $a\mapsto(a,0,0,\dots)$.

Följande faktum är vad som ger oss möjlighet att betrakta polynom som funktioner på $R$:

För varje $a\in R$ finns det en unik ringhomomorfi $\varphi_a:R[x]\to R$ sådan att $\varphi_a$ fixerar $R$ (explicit att $\varphi_a(r)=r$ för alla $r\in R$) och $\varphi_a(x) = a$.

Det faktum att denna mapping är en ringhomomorfi är precis det som gör att vi kan betrakta polynom $p\in R[x]$ som funktioner $R\to R$. En ringhomomorfi är en mapping mellan ringar som "bevarar" ringens operationer (addition och multiplikation). "Bevarar" betyder att vi får samma resultat oavsett om vi först utför en operation i den första ringen och sedan skickar resultatet via homomorfin, eller om vi först skickar två element via homomorfin och sedan utför motsvarande operation i den andra ringen.

Vi kan definiera funktionen $p_f:R\to R$ motsvarande polynomet $p$ som den funktion som skickar $a\in R$ till $\varphi_a(p)$.

Låt säga att vi har ett annat polynom $q\in R[x]$ och bildar ytterligare ett polynom $p+q$. Vi vill förstås att $(p+q)(a)$ ska ge samma resultat som $p(a) + q(a)$. Har vi exempelvis polynomet $x^2 + 1$ och $x+2$ så vill vi att vi ska få samma sak om vi först adderar polynomen och sedan "evaluerar" vid något $x=a$, som vi hade fått om vi evaluerade vart polynom för sig och adderade resultaten i vår ring $R$.

Notera att när vi skriver $(p+q)(a)$ så är additionen den i $R[x]$; i det senare så är additionen den i $R$.

Detta gäller eftersom $(p+q)(a) := \varphi_a(p+q) = \varphi_a(p)+\varphi_a(q)$. Här använder vi i den högra likheten att $\varphi_a$ är en ringhomomorfi.

Allt detta gäller förstås även för multiplikation: $(pq)(a)$ ger samma sak som $p(a)q(a)$, där den första betyder multiplikation i $R[x]$ och den andra multiplikation i $R$.

I ditt exempel, där jag antar att vår ring är $\mathbb{Z}$, skulle alltså $p(2)$ vara $\varphi_2(x^2 + 1)=5$. Det fungerar eftersom $\varphi_2$ är garanterad att existera och unik enligt resultatet ovan.

Jag fastnar på din tredje rad.

Skulle du kunna ta ett exempel på en sådan mappning? Står $x$ i $\varphi_a(x)$ för följden $(0,1,0,0,...)$? 

naytte skrev:

Jag fastnar på din tredje rad.

Skulle du kunna ta ett exempel på en sådan mappning? Står $x$ i $\varphi_a(x)$ för följden $(0,1,0,0,...)$? 

Jag skrev en jättelång kommentar till mitt inlägg som verkar ha försvunnit... nåja.

Ja precis, på tredje raden så menar jag "... och sådan att $\varphi_a((0,1,0,0,\dots)) = a$."

Låt oss betrakta fallet med vår gamla vanliga kommutativa ring av heltal $\mathbb{Z}$ och vår polynomring ${Z}[x]$ konstruerad som följder enligt tidigare inlägg.

Givet något $k\in\mathbb{Z}$ (där vi vill "evaluera" våra polynom) så definierar vi

$\varphi_k((a_0,a_1,a_2,\dots,a_n,0,\dots)) := a_0 + a_1k + a_2k^2 + \dots + a_nk^n$.

Detta är en homomorfi (lämnar beviset som en övning till läsaren) som fixerar "konstantpolynomen", dvs. $\varphi_k((a,0,0,\dots)) = a$ för alla $a\in\mathbb{Z}$ och som skickar vårt $x:=(0,1,0,\dots)$ till $k$. Man kan visa att detta är den unika homomorfin som besitter dessa egenskaper.

Lite informellt så kan vi säga att en "evalueringsfunktion" från vår polynomring till vår koefficientring är helt bestämd av vad vi gör med elementet $x$. Det är den enda biten information som behövs.

Ah, jag tror att jag förstår nu. Om vi alltså definierar en funktion funktion $p_f(x) := x^2+1$ så har vi t.ex. att:

$p_f(a) = \varphi_a(x^2+1) = \varphi_a(x^2)+\varphi_a(1) = \varphi_a(x)\cdot \varphi_a(x)  + \varphi_a(1) = a\cdot a +1 = a^2 + 1$

Och existensen av denna unika funktion $\varphi_a$ garanteras för varje $a\in\mathbb{R}$ av någon fin sats?

Ja, det är faktiskt inte så krångligt. Låt oss konstruera den explicit.

Våra ringar är $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ och $(\mathbb{Z}[x],\boxplus,\boxtimes)$ där den senare är konstruerad som följder enligt tidigare inlägg.

Vi inför några förkortningar för att det inte ska bli för jobbigt att skriva.

$(a,0,0,\dots) =: a$ för $a\in\mathbb{Z}$ (vi identifierar $\mathbb{Z}$ med de "konstanta polynomen" för att det ska bli lättare att skriva);

$(0,1,0,0,\dots)=:x$. Notera att $x\boxtimes x = (0,0,1,0,\dots)$ och mer generellt att $x\boxtimes x\boxtimes \dots \boxtimes x =: x^n$ blir följden $(0,\dots,0,1,0,\dots)$ med en ensam etta på plats $n$.

$(0,\dots,a_n,0,\dots)=:a_nx^n$ med ett $a_n$ på plats $n$; notera att

$a_n\boxtimes x^n = (a_n,0,\dots)\boxtimes (0,\dots,1,0,\dots) = (0,\dots,a_n,0,\dots)$ så att notationen $a_nx^n$ makear sense.

Fixera något heltal $k\in\mathbb{Z}$. Tänk att vi vill definiera en mapping $\varphi_k$ från vår polynomring $\mathbb{Z}[x]$ till vår koefficientring $\mathbb{Z}$ som "evaluerar" polynom enligt vad vi intuitivt tänker oss (att vi "ersätter" $x$ med $k$). Vi kommer fram till att $\varphi_k$ ska

1) fixera konstantpolynomen, dvs. som uppfyller $\varphi_k((a,0,\dots)) = a$ för alla $a\in\mathbb{Z}$.

Motivering: Ett konstantpolynom borde inte förändras i värde oavsett var vi evaluerar det.

2) bevara ringaddition, dvs. $\varphi_k(p\boxplus q) = \varphi_k(p)+\varphi_k(q)$.

Motivering: Om vi adderar två polynom (med polynomaddition $\boxplus$) och sedan evaluerar summan så vill vi att det ska ge oss samma värde som om vi evaluerar polynomen var för sig och sedan adderar summan (med vanlig addition i $\mathbb{Z}$.

3) bevara ringmultiplikation, dvs. $\varphi_k(p\boxtimes q) = \varphi_k(p)\cdot\varphi_k(q)$.

Motivering: På liknande sätt som ovan så vill vi att om vi först multiplicerar två polynom (med operationen $\boxtimes$) och sedan evaluerar produkten, så borde vi få samma sak som om vi evaluerar polynomen var för sig och sedan multiplicerar resultaten i $\mathbb{Z}$.

Vi visar att detta entydigt bestämmer $\varphi_k$.

Det är givet att $\varphi_k((0,1,0,\dots)) = k$.

Låt säga att vi har polynomet $x^n$ (som alltså betyder följden med nollor överallt utom en etta på plats $n$). Enligt multiplikationen i $\mathbb{Z}[x]$ så är $x^n = x\boxtimes x\boxtimes \dots \boxtimes x$. Kriterium 3) ger oss då bara ett val för vart vi kan skicka $x^n$:

$\varphi_k(x^n) = \varphi_k(x\boxtimes x\boxtimes\dots\boxtimes x) = \varphi_k(x)\cdot \varphi_k(x)\cdot\dots\cdot\varphi_k(x) = k\cdot k \cdot\dots\cdot k = k^n$.

Vad händer om vi har en koefficient framför $x^n$? Alltså om vi haft polynomet $(a,0,\dots,1,0,\dots)=(a,0,\dots)\boxtimes(0,\dots,1,0,\dots)$, eller $ax^n$? Eftersom $\varphi_k$ ska fixera konstantpolynomen enligt kriterium 1) så måste

$\varphi_k(ax^n) = \varphi(a)\cdot \varphi(x^n) = a\cdot k^n$.

Återigen har vi bara ett val för vart vi ska skicka $ax^n$.

På samma sätt blir det när våra polynom består av "fler termer". Låt säga att vi har ett godtyckligt polynom

$(a_0,a_1,a_2,\dots,a_n,0,0,\dots)$. Vi kan skriva denna följd som

$(a_0,0,0,\dots) \boxplus (0,a_1,0,\dots) \boxplus (0,0,a_2,0,\dots)\boxplus\dots\boxplus(0,\dots,0,a_n,0,\dots)$.

Vi kan skriva $(0,a_1,0,\dots)$ som $a_1x$, dvs. $(a_1,0,\dots)\boxtimes(0,1,0,\dots)$, och på samma sätt kan vi skriva de övriga som $a_2x^2$, $a_3x^3$ och så vidare. Jag skriver alltså

$a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ för att mena $(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots)$.

Vi får då enligt kriterierna 1, 2 och 3 att

$\varphi(a_0+a_1x+\dots+a_nx^n) = \varphi(a_0) + \varphi(a_1x) + \dots + \varphi(a_nx^n) = a_0 + \varphi(a_1)\cdot \varphi(x) + \dots + \varphi(a_n)\cdot\varphi(x^n) = a_0 + a_1k + a_2k^2 + \dots a_nk^n$.

Vi har inget annat val än att skicka polynomet $(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots)$ till heltalet $a_0 + a_1k + \dots + a_nk^n$.

Vi har nu angett vad $\varphi_k$ gör med ett godtyckligt element i $\mathbb{Z}[x]$, och det följer att $\varphi_k$ är den unika homomorfi från $\mathbb{Z}[x]$ till $\mathbb{Z}$ som besitter egenskaperna att polynomet $x$ skickas till talet $k$ och som fixerar konstantpolynomen.

Tillägg: 25 apr 2025 19:41

Hur betraktar vi då polynom som funktioner? Säg att vi har någon polynomring $R[x]$ och något element $p\in R[x]$. Som tidigare nämnt så kan vi definiera en funktion $R\to R$, låt oss kalla den $\hat{p}(x)$, som skickar ett element $r\in R$ till bilden $\varphi_r(p)$ av $p$ under evalueringshomomorfin. Alltså är $\hat{p}(r) := \varphi_r(p)$ för $r\in R$. Vi kan göra detta tack vare att $\varphi_r$ är unikt bestämd för varje $r\in R$.

Det här svaret är guld värt! Jag måste sova lite på saken, men nu är mystiken bakom objektet "$x$" löst för mig. Förutsatt att ingen här på forumet lyckas hitta på ett botemedel mot cancer så får du min röst för årets pluggakutare. Fantastiskt bra svar!

Jag återkommer inom kort med några ytterligare funderingar om hur man kan koppla detta synsätt till mängdläran, men det får vänta.

God kväll!

Ser nu att jag skrivit fel efter stycket som börjar "Vad hänter om vi har en koefficient framför $x^n$? ..."

Vi har att

$(a,0,\dots)\boxtimes(0,\dots,1,0,\dots) = (0,\dots,a,0,\dots)$

där ettan i VL samt $a$:et i HL står på plats $n$ (eller plats $n+1$ beroende på om vi börjar räkna från plats 0 eller plats 1).

Med förkortningarna jag infört står det i VL alltså $a\boxtimes x^n$, vilket jag skriver som $ax^n$.

Och tack för din kommentar. Intressant frågeställning tycker jag, jag hade inte tänkt på att den "vanliga" definitionen av polynomringar (som använder "formella summor" och en "formell obestämd $x$") inte är riktigt rigorös. Den är mer något slags mellanting mellan att vara formell och att vara lättbegriplig. Definitionen med följder förefaller ju tämligen godtycklig i ett vakuum, men kringgår alla oklarheter.

Mycket klokt har redan sagts i den här tråden, men jag vill ändå lite snabbt plocka upp något som nämns redan i trådstarten och som tråden sedan snuddar vid flera gånger (i t.ex. #2 och i tillägget till #41), nämligen faktumet att polynom kan betraktas som funktioner. 

Mer precist kan vi uttrycka det som att det finns en mappning från mängden av polynom

$R[x]=\{(a_0,a_1,a_2,\ldots)\in R^{\mathbb{N}}:\text{$\exists d\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ sådant att $a_i=0$ för alla $i>d$}\}$

till mängden 

$\mathcal{P}(R)=\{\mathrm{Polynomfunktioner}\: R\to R\},$

där begreppet "polynomfunktion" syftar på en funktion $R\to R$ som kan beskrivas av en formel av typen ${f(x)}=\sum_{k=0}^d a_kx^k$ för några koefficienter $a_0,a_1,\ldots,a_d\in R$ och något gradtal $d\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$.

Den mappning (eller ringhomomorfi för att använda algebrajargong) som jag har i åtanke är så klart denna:

$\mathcal{F}: {R[x]}\to {\mathcal{P}(R)},\quad {(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_d,0,\ldots)}\mapsto \left(\begin{array}{l}R\to R\\x\mapsto \sum_{k=0}^d a_kx^k\end{array}\right).$

Om ringen ("talsystemet") $R$ som vi jobbar med är något av de vanliga ringarna $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ och $\mathbb{C}$ som vi känner och älskar sedan gymnasiematten, så är $\mathcal{F}$ en bijektion (eller på fancy algebraspråk: en ringisomorfi). Då spelar det inte så stort roll om man tänker på polynom som följder (eller formella uttryck) eller funktioner, eftersom man fritt kan översätta fram och tillbaka mellan dessa två perspektiv. 

Men här kommer det intressanta – om vi väljer att jobba över en lite mer esoterisk ring $R$ så kommer $\mathcal{F}$ inte nödvändigtvis vara en isomorfi, och det kan bli så att vi förlorar information när vi går från följder (eller formella uttryck) till funktioner. Vi behöver faktiskt inte gå längre än till ringen $R=\mathbb{Z}/n$ av heltal modulo något fixt heltal $n\neq 1$ för att detta ska inträffa! 

Exempel: Om $R=\mathbb{Z}/3=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$ så kommer flera olika polynom:

• $(\bar{0},\bar{0},\ldots)$, aka $\bar{0}$
• $(\bar{0},\bar{1},\bar{0},\bar{2},\bar{0},\ldots)$, aka $\bar{1}x+\bar{2}x^3$
• $(\bar{0},\bar{1},\bar{0},\bar{1},\bar{0},\bar{1},\bar{0},\ldots)$, aka $\bar{1}x+\bar{1}x^3+\bar{1}x^5$
• ...

mappas till den konstanta nollfunktionen $\mathbb{Z}/3\to\mathbb{Z}/3$ (testa att stoppa in $\bar{0}$, $\bar{1}$ och $\bar{2}$ i funktionerna, och se vad som händer!). Faktum är att det finns oändligt många polynom i $\mathbb{Z}/3[x]$, men bara 27 olika funktioner $\mathbb{Z}/3\to\mathbb{Z}/3$ som $\mathcal{F}$ kan mappa dem till, så det kommer oundvikligen att bli fråga om ett rejält informationstapp!

Slutsatsen är alltså att det över generella ringar $R$ kan vara stor skillnad på "polynom" och "polynomfunktioner"!

Så för att på något sätt sammanfatta detta i språket man använder i ZF(C), så säger vi helt enkelt att ett polynom $p$ med $\deg p = d$ definieras som:

$\displaystyle p\subseteq R\times R=\left\{ \left(x,\sum_{n=0}^{d}a_nx^n\right):x,a_n\in R,d\in \mathbb{N}\right\}$

med $(x,y_1),(x,y_2)\in p \implies y_1=y_2$

Och vi inser att om $R$ är en tillräckligt trevlig ring (t.ex. $R=\mathbb{C}$) så kan vi identifiera mängden $p$ genom:

$\displaystyle p\left(x\right)=\sum_{n=0}^{d}a_nx^n$

Detta är alltså ett sätt att säga "jag pallar inte skriva ut mängden men här är en formel som beskriver hur tupelns andra värde beror av dess första".

Dessutom kan vi enligt #41 även betrakta dessa mängder $p$ som mängder av listor av element ur $R^\mathbb{N}$ med ett ändligt antal nollskilda element genom att inse (och visa) att det existerar en isomorfi mellan dessa, dvs. att det går att hitta en bijektion mellan dessa, vilket alltså innebär att de innehåller samma element men under "olika namn"?

Kalla betraktelsesättet av polynom jag skrev explicit i LaTeX här som (1) och kalla det andra som mängder av listor som (2):

Måste man då också säga något om operationerna på elementen ur $p$ enligt dessa betraktelsesätt? Dvs. visa att om vi utför t.ex. addition på element enligt betraktelsesätt (1) eller "samma" operation på elementen ur $p$ enligt betraktelsesätt (2) så blir bijektionen "rätt" ändå?

Detta är klurigt, så det är viktigt att hålla tungan rätt i mun! Några punkter:

(1) Jag tror inte du menar att $R\times R$ är lika med din mängd, utan jag tror du menar att $p$ är lika med den mängden. Alltså borde du skriva $p=\{\cdots\}\subseteq R\times R$.

(2) Gradtalet $d\in\mathbb{N}$ och koefficienterna $a_0,\ldots,a_d\in R$ är fixerade för varje polynom $p$. Alltså borde de specificeras utanför mängden. Så som du har skrivit det så tillåts både gradtalet och koefficienterna att variera inom $p$, vilket blir konstigt.

(3) Mängden $\{(x,\sum_{n=0}^d a_nx^n):x\in R\}$ är enligt ZFC-synsättet lika med polynomfunktionen $R\to R$ som ges av $x\mapsto \sum_{n=0}^d a_nx^n$. Detta är dock inte samma sak som polynomet $(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_d,0,\ldots)$ som är en följd*.

(4) Om vi jobbar över en tillräckligt trevlig ring, så stämmer det att vi har en bijektion $\mathcal{F}$ mellan mängden $R[x]$ av polynom (betraktade som följder) och mängden $\mathcal{P}(R)$ av polynomfunktioner (se #44). Det spelar ingen roll vilka operationer vi har utrustat de här mängderna med – vi har en bijektion oavsett!

(5) Om vi utrustar $R[x]$ med operationerna $\boxplus$ och $\boxtimes$ från #41, och $\mathcal{P}(R)$ med vanlig addition/multiplikation av funktioner $R\to R$, definierade som

$(f\oplus g)(r)=f(r)+g(r)$ och $(f\odot g)(r)=f(r)\cdot g(r)$ för alla $r\in R$,

så kommer $\mathcal{F}$ att respektera operationerna, så att $\boxplus$-summor mappas till $\oplus$-summor, och $\boxtimes$-produkter till $\odot$-produkter. På algebraspråk uttrycker man detta som att bijektionen $\mathcal{F}$ är en isomorfi mellan ringarna $(R[x],\boxplus,\boxtimes)$ och $(\mathcal{P}(R),\oplus,\odot)$.

* Ett sidospår: I ZFC är alla objekt mängder, så vän av ordning skulle kunna undra hur vi kan konstruera en följd som en mängd. Svaret är att man kan tänka sig en följd av element i $R$ som en funktion $\mathbb{N}\to R$. Mer precist är vårt polynom lika med mängden $\{(0,a_0),(1,a_1),(2,a_2),\ldots,(d,a_d),(d+1,0),\ldots\}$.

Nu undrar kanske vän av ordning också hur vi kan konstruera ett par som en mängd. Det vanliga sättet att göra detta på är att betrakta $(A,B)$ som mängden $\{\{A\},\{A,B\}\}$. Alltså är vårt polynom egentligen mängden

$\{\: \{ \{0\},\{0,a_0\}\},\:\{\{1\},\{1,a_1\}\},\:\{\{2\},\{2,a_2\}\},\:\ldots,\:\{\{d\},\{d,a_d\}\},\:\{\{d+1\},\{d+1,0\}\},\:\ldots\:\}.$

(1) Japp, jag skrev det i fel ordning!

(2) Håller med!

(3) Här vet jag inte om jag inte förstår eller om vi talar förbi varandra. Symbolen "$\mapsto$" är väl ingen primitiv symbol i det mängdteoretiska språket? Det är väl snarare lite trevlig notation vi hittar på? Jag tänker att rent strikt i ZFC så säger vi att mängden $p$ definierar en funktion:

$\displaystyle p:=\left\{ \left(x,\sum_{n=0}^{d}a_nx^n\right):x\in R \right\}$

Vidare kan vi göra våra liv enklare genom att inse att varje tupel $(x,y)\in p$ också kan beskrivas med en formel:

$\displaystyle y=: p\left(x\right) = \sum_{n=0}^{d}a_nx^n$

Eftersom vi vet att varje $x$ hör ihop med ett unikt tal $y$ räcker det i det här fallet att känna till $x$ för att bestämma $y$.

Denna funktion kan vi sedan, givet en tillräckligt trevlig ring, identifiera med ett unikt polynom $(a_0, a_1,...,a_d,0,...)\in R^\mathbb{N}$ genom att vi inser att det existerar en bijektion mellan $R[x]$ och $\mathcal{P}(R)$ som "bevarar" operationerna $\boxplus$ och $\boxtimes$ på $R[x]$ och motsvarande operationer på $\mathcal{P}(R)$.

Är det rätt uppfattat?

Håller med om allt!

Då har jag ytterligare en fråga.

Jag såg min föreläsare skriva något i stil med:

$\displaystyle P_2=\{ p(x):p(x)=ax^2+bx+c\; \text{och}\; a,b,c\in\mathbb R \}$

Detta ska alltså vara mängden av alla reellvärda polynom av grad två eller mindre. Men egentligen blir det väl lite konstigt att skriva så här eftersom "$p(x)=ax^2+bx+c$" anger ett förhållande mellan det första och det andra elementet i funktionens tuplar, inte funktionen i sig?

Däremot kan man kanske skriva:

$\displaystyle P_2=\{ p :p(x)=ax^2+bx+c\; \text{och}\; a,b,c\in\mathbb R \}$

om man förtydligar att $y =: p(x) = ax^2 +bx+c$ för alla $(x,y)\in p$ (vilket kanske förstås implicit)

Jag håller väl typ med, men i praktiken är det vanligt att man inte skiljer mellan $p(x)$ och $p$ när man pratar om polynom och använder notationen $\sum_{n=0}^d a_nx^n$ för $(a_0,a_1,\ldots,a_d,0,\ldots)$. Det kan vara ett bekvämt sätt att påminna läsaren om att man har valt symbolen $x$ för elementet $(0,1,0,\ldots)$ i polynomringen.